Вопрос 24. Гипербола и её основные свойства.

Гипербола - множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величинаменьшая, чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем т.е.Заметим, что

Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее,–фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где

Следовательно, (10)

Умножим (10) на (11)

Сложим уравнения (10) и (11): (12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть (13)

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

Соответственно, уравнение – каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид (14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как ,то (15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстоянияк длине действительной оси : (16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из(12)

(17)

Прямые называются директрисами гиперболы. –левая директриса, – правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса (18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстояниюот нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые (19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет,– уравнения директрис.

25. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

 Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.  

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.  

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.то условие может быть записано также в видеk₁k₂ = -1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда