28. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ;  d′−  проекция прямой d на плоскость θ; Наименьший из углов между прямыми d и d′ мы назовем углом между прямой и плоскостью. Обозначим его как φ=(d,θ) Если d⊥θ , то (d,θ)=π/2 

Oi→j→k→−  прямоугольная система координат. Уравнение плоскости:

θ:Ax+By+Cz+D=0

Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d[M0,p→]  Вектор n→(A,B,C)⊥θ  Тогда остается выяснить угол между векторами n→ и p→, обозначим его как γ=(n→,p→).

Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2 

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ 

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ 

Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣  Ap1+Bp2+Cp3∣ ∣  √A2+B2+C2√p21+p22+p23 

Вопрос29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм.

Квадратичной формой  (х₁, х₂, …, x_n) n действительных переменных х₁, х₂, …, x_n называется сумма вида,(1)

где a_ij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a_ij = a_ji.

Квадратичная форма называется действительной, если a_ij   ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица Т. е.А^Т = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде  (х) = х^ТАх, где х^Т = (х₁ х₂ … x_n). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если

 (х) > 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы  (х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если

 (х) < 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квад-ратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадра-тичная форма  (х) достигает минимального (максимального) значения  (х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М₁ > 0, M₂ > 0, …, M_n > 0. Критерий отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, т. е.: М₁ < 0, M₂ > 0, М₃ < 0, …, (–1)ⁿ