6. Стационарный случайный процесс в широком и узком смысле

Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы, то есть, случайные процессы, не изменяющие свои характеристики с течением времени. Они имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения. Таковыми являются: давление газа в газопроводе, колебания самолёта при «автополёте», колебания напряжения в электрической сети и т.д.

Случайный процессназываетсястационарным в широком смысле,если его математическое ожидание есть постоянное число, а корреляционная функциязависит только от разности аргументов, т.е.

Из этого определения следует, что корреляционная функция стационарного процесса есть функция одного аргумента: Это обстоятельство часто упрощает операции над стационарными случайными процессами.

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если его характеристики зависят не от значений аргументов, а лишь от их взаимного расположения. То есть, для функции распределения сечений процесса должно выполняться равенство:

при любых

Отметим, что из стационарности СП в узком смысле следует стационарность его в широком смысле, обратное утверждение неверно.

В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные случайные процессы в широком смысле. Далее приведем основные свойства корреляционной функции случайного стационарного процесса (с.с.п.).

1. Дисперсия с.с.п. постоянна и равна значению корреляционной функции в нуле, т.е. , то есть в начале координат.

2. Корреляционная функция с.с.п. является чётной функцией, т.е.

3. Абсолютное значение корреляционной функции с.с.п. не превосходит её значение при , т.е.

Нормированная корреляционна функция с.с.п. является неслучайная функция аргумента , т.е.

при этом в соответствии свойство 3 имеет место неравенство

Пример 6. Задана случайная функция,равномерно распределённая случайная величина, в интервале

Доказать, чтослучайная стационарная функция.

Решение. Найдём математическое ожидание

.

На основании определения м.о. получим (с учётом равномерной распределённости с.в. , по условию контроля)

и

Следовательно,

Найдём корреляционную функцию. Учитывая, что центрированная и случайная функция равны (т.к. ), т.е., то согласно определению корреляционной функции (см.пункт 16.5) имеем

.

,

поскольку ).

Задание. Покажите, что в условиях нашего примера имеет место

Итак, математическое ожидание с.в. есть постоянное число при всех значениях аргумента, и её корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно,случайная стационарная функция.

Отметим что, положив в корреляционной функции, найдём дисперсию

Таким образом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех значениях аргумента, как и должно, быть при случайной стационарной функции.

Большинство случайных стационарных процессов обладают важным для практики, так называемым, «эргодическим свойством», сущность которого состоит в том, что по одной, достаточно длинной отдельной реализации данного процесса можно судить обо всех свойствах процесса также как по любому количеству реализаций.

Другими словами, отдельные характеристики с.с.п. могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности.

Связь между классами стационарных и случайных эргодических процессов можно охарактеризовать, например, как на рисунке 61.

Рис. 61 (Письм.).

Достаточным условием эргодического с.п. относительно математического ожидания и корреляционной функции является стремление к нулю его корреляционной функции при.

В качестве оценок характеристик эргодических с.с.п. принимают усреднённое по времени значение:

Интегралы, в правых частях равенств, на практике вычисляют приближённо.

Случайные процессы иназываютсястационарно связанными, если их взаимно корреляционная функция зависит только от разности. В качестве примера стационарного процесса можно взять с.п.– гармоническое колебание. Можно показать, чтоа