11. Стационарный белый шум, дельта функция

Одним из конкретных видов стационарного СП. является так называемый «стационарный белый шум». Кратко остановимся на это очень важное явление.

Стационарным белым шумом называется стационарный с.п.спектральная плотность которого является постоянным числом:

для .

Корреляционная функция белого шума, находится на основании второй формулы (35) с последующим использованием так называемой дельта функцией, определяемая равенством

(39)

где дельта функция Дирака. Кратко рассмотрим основные сведения об этой функции.

Представление (39) выводится на основании теории интегралов Фурье.

Дельта функция Дирака.

Дельта – функция Дирака является одним из первых примеров обобщённых функций. Обобщённая функция определяется, как предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций, и удовлетворяет условию, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функцииеё значение в точке:

(40) .

Правую часть равенства (40) можно представить в виде предела: для любого

(41) .

где

Таким образом, дельта – функцию можно рассматривать как предел последовательности функций приУчитывая, чтопридляиусловно пишут

Наглядно график функции Дирака геометрически можно представить в виде графика, изображённого на рисунке 67.

Рис. 67.

Равенство (39) также пишут в виде

.

Физический смысл дельта – функции можно охарактеризовать как плотность единичной массы, сосредоточенный в нулевой точке, а в остальных точках она равна нулю.

Замечание. В приложениях равенство (39) часто применяют в форме

которое выводится аналогично как выше (следует все рассуждения в окрестности точки ).

Далее продолжим изучение «стационарного белого шума». Вычислим корреляционную функцию белого шума. На основании второй формулы (35) с последующим использованием

формулы (39) получим

.

То есть

(42)

Равенство (42) означает некоррелированность любых двух различных сечений и(посколькупри всех значениях). В силу этого явления осуществить белый шум невозможно, т.е. белый шум - полезная математическая абстракция. В частности, явление белый шум используют для моделирования с.п., которые имеют постоянную спектральную плотность в определённом диапазоне частот, при этом поведение спектральной плотности вне его диапазона исследователя не интересует.

Пример 14. Спектральная плотность стационарной случайной функциипостоянна в диапазонеа вне этого диапазона равна нулю, т.е.

Найти: 1. Корреляционную функцию;

2. Дисперсию случайного процесса .

Решение. 1.Найдём искомую корреляционную функцию:

,

Итак,

2. Найдём искомую дисперсию:

Следовательно, на основании первого замечательного предела получим

Тема 17. Марковские случайные процессы

1. Понятие Марковской цепи, марковские случайные процессы

Непосредственным обобщением схемы повторных независимых испытаний (схема Бернулли) является схема так называемых цепей Маркова, впервые систематически изученным известным математиком А.А.Марковым. Мы здесь ограничимся изложением элементов этой теории.

Представим себе, что проводится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из несовместных событий, где верхний индекс обозначает номер испытания.

Говорят, что последовательность испытаний образуетцепь Маркова, точнее, «простую цепь Маркова»,если условная вероятность события , которое произошлов м испытании)зависит лишь от того, какое событие произошло прим испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях.

Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются и другой терминологии при этом говорят о некоторой физической системе , в которая в каждый момент времени может находиться в одном из состоянийи меняет своё состояние только в моменты времени. Для цепей Маркова вероятность перехода в какое либо состоянии системав момент, зависит только оти того, в каком состоянии система находилась в момент(и не изменяется от того, что становятся известными её состояния в более ранние моменты.

Для иллюстрации этого понятия (цепей Маркова) рассмотрим примеры:

Пример 1. Представим, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты. Частица может находиться в точках с целыми координатамипри этом, в точкахинаходятся отражающие шкалы (стенки). Каждый толчок перемещает частицу в право с вероятностьюи влево с вероятностью, если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит её на единицу внутрь промежутка между стенками. Легко видит, что приведённый пример «блуждания частицы» представляет собой типичный пример цепи Маркова. Аналогично можно было бы рассмотреть случай, когда частица прилипает к одной из стенок или к обеим стенкам.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если множество его возможных состояний конечно или счетное (можно заранее перечислить), а переход из одного состояния в другое осуществляется скачком, переходы возможны только в определённые моменты времени

Среди случайных процессов особое место занимают марковские случайные процессы.

Если переходы возможны в любой момент времени, т.е. моменты переходов из одного состояния в другое случайны, то такой процесс называетсяпроцессом с непрерывным временем.

Случайный процесс с дискретным процессом называется марковским, если для любого момента времени условная вероятность каждого из состояний системыв будущем (т.е. при) зависит только от её состояния в настоящем (т.е. при) и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. каковы были предыдущие состояния, при.

Марковский процесс называют также процессом без последействия: будущее в нём зависит от прошлого только через настоящее, вероятность системыпопасть в состояниев момент времени() зависит лишь от состояния,в котором система находилась в предыдущий момент времени.

Другими словами, имеют место цепочка равенств:

,

где являются возможные состояния системы.

Марковский процесс служит математической моделью для многих процессов в биологии (распределение эпидемий, рост популяции), в физике (распад радиоактивного вещества), в теории массового обслуживания (поток пассажиров в метро, поток поступлений звонков на телефонную станцию и др.).

Отметим, что в системе массового обслуживания множество состояний системы определяется числом каналов, т.е. линий связи, вычислительные машины, продавцы и т.д. Переходы между состояниями системы происходят под воздействием потока событий (потока заявок, требований, отказов и т.д.), будут простейшими, пуассоновскими.

Случайные процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого «графа состояний». В нём состояниясистемыизображаются прямоугольниками (или кружками), а возможные непосредственные переходы из одного состояния в другое - стрелками (или ориентированными дугами), которые соединяют эти состояния с указанием их направлений.

Пример 2. Построим граф состояний следующего случайного процесса: некоторое устройствов случайный момент времени, может выйти из строя, оно контролируется в моменты времени (к примеру, через каждый час) и в случае необходимости проводится либо ремонт, либо идёт на списание.

Решение. Возможные состояние системы (устройства): пустьустройство исправно,устройство неисправно, требуется ремонт,устройство неисправно, ремонту не подлежит, на списание.

Процесс представляет собой случайное блуждание системы по состояниям, время проверки 1 час, является шаг процесса. Граф системы представлен на рисунке

Рис.68 (Письменный)

Одно из возможных реализация с.п. блуждания системы может иметь такой вид: , что означает: при 1-м, 2-м, 3-м осмотрах устройство исправно; при 4-м осмотре обнаружено неисправность, ремонтируется; при 5-м, 6-м осмотрах обнаружено исправность, при 7-м осмотре признано негодность, устройство списано. Процесс закончился.

Для описания с.п. с дискретными состояниями пользуются вероятностями состояний системы , то есть значениями, гдевыражает того, что в момент временисистема находится в состояниислучайное состояние системы в момент времени.

Естественно, что для любого момента времени сумма вероятностей всех состояний равна единице (как сумма вероятностей полной группы несовместных событий):