- •Глава IV Теория случайных процессов
- •Тема 16. Основы теории случайных процессов
- •1. Понятие случайной функции, стохастические процессы
- •2. Процесс Пуассона
- •3. Классификация случайных процессов
- •4. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса
- •5. Корреляционная функция случайного процесса
- •5.1. Нормированная корреляционная функция
- •5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса
- •6. Стационарный случайный процесс в широком и узком смысле
- •7. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов
- •8. Дифференцирование и интегрирование
- •9. Элементы спектральной теории стационарных
- •9.1. О дисперсии стационарного случайного процесса.
- •9.2. Дискретный спектр, с произвольным конечным числом частоты.
- •10. Спектральная плотность случайного
- •11. Стационарный белый шум, дельта функция
- •Тема 17. Марковские случайные процессы
- •1. Понятие Марковской цепи, марковские случайные процессы
- •2. Дискретный Марковский процесс, цепь Маркова
- •3. Примеры Марковских цепей
- •4. Расчет цепи Маркова для стационарного режима
- •5. Понятие о непрерывном Марковском процессе,
9. Элементы спектральной теории стационарных
случайных процессов (функций)
В этом пункте кратко ознакомимся с новой характеристикой случайной функции, с понятием «спектральная плотность».
Из курса математического анализа известно, что неслучайную функцию , удовлетворяющую определённым условиям (условиям Дирихле) можно разложить в некотором промежуткев ряд Фурье. Важность теории рядов Фурье обусловлена той большой ролью, которую играют её приложения не только в математике, но и в механике, физике и ряде других научных дисциплин. Во многом это предопределено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности, как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье. С теорией рядов Фурье и интегралах Фурье можно ознакомиться, например, в учебнике [Архипов, … ].
Аналогичную теорию можно применять и в теории случайных функций (процессов), т.е. любой с.п. можно представить (разложить) в виде суммы так называемых «элементарных случайных процессов». А именно, в функциональный ряд вида
(20)
где случайные величины,неслучайные функции времени. Метод разложения СП в ряды вида (20) упрощает различные преобразования СП (линейных и нелинейных), в частности используя её можно найти характеристики «выходного процесса» стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам «входного процесса». Вообще говоря, стационарную случайную функцию можно представить в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. Рассмотрим два класса случайных функций:
А. Пусть случайная функция вида (локальный случай)
(21) ,
гдедействительное число,инекоррелированные случайные величины с математическим ожиданием, равными нулю и одинаковыми дисперсиями, или коротко:
Напомним, что в наших условиях с.п. , т.е.центрированный случайный процесс. Следовательно, такой случайный процесс является центрированным.
Покажем, что этот случайный процесс является стационарным.
Действительно, вычислим :
Вычислим корреляционную функцию. С учётом равенства:
,
и определения корреляционной функции имеем
Следовательно, мы доказали, чтоявляется стандартным случайным процессом.
Б. Рассмотрим теперь СП , являющейся суммой бесконечного числа слагаемых вида (21) (общий случай)
(22),
где выполнены следующие условия:
(23)
при любых ,постоянные числа.
Покажем, что случайный процесс , определённый равенством(22) с условиями (23) также является стационарным.
Действительно, с учетом свойства м.о. имеем
.
Следовательно, .
Поскольку слагаемые в равенстве (22) некоррелированные, то с учётом формулы для корреляционной функции с.п. (21) и свойства 6, пункта 16.5, т.е. с учётом равенства
получаем
(24) ,
Итак, с.п. (23) является стационарным случайным процессом.
Отметим, что равенство (24) можно рассматривать как разложение корреляционной функции на промежуткеи ряд Фурье по косинусам:,
где
,
(25)
Можно доказать, что для любой корреляционной функции стационарного случайного процесса.
Разложение (22) обычно называется каноническимилиспектральным разложением стационарного случайного процесса. А разложение (24) для которого выполнены равенства (25) называетсяспектральным разложением корреляционной функции СП с равноотстоящими частотами.
Отметим, что спектральное разложение (22) с.с.п. можно представить в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазамии частотами:
(26) ,
где
Кратко наметим схему получения представление (26) на основании равенства (22), где и выполнены условий:
Очевидно, . Обозначими выполнив стандартные выкладки, получимгде
Отсюда вытекает, что каждую случайную функцию в правой части (26) можно истолковать как гармоническое колебание со случайной амплитудой
, частотойислучайной фазой. Отметим, что согласно условиям (23) величиныибудут центрированные случайные величины, т.е.