- •Глава IV Теория случайных процессов
- •Тема 16. Основы теории случайных процессов
- •1. Понятие случайной функции, стохастические процессы
- •2. Процесс Пуассона
- •3. Классификация случайных процессов
- •4. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса
- •5. Корреляционная функция случайного процесса
- •5.1. Нормированная корреляционная функция
- •5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса
- •6. Стационарный случайный процесс в широком и узком смысле
- •7. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов
- •8. Дифференцирование и интегрирование
- •9. Элементы спектральной теории стационарных
- •9.1. О дисперсии стационарного случайного процесса.
- •9.2. Дискретный спектр, с произвольным конечным числом частоты.
- •10. Спектральная плотность случайного
- •11. Стационарный белый шум, дельта функция
- •Тема 17. Марковские случайные процессы
- •1. Понятие Марковской цепи, марковские случайные процессы
- •2. Дискретный Марковский процесс, цепь Маркова
- •3. Примеры Марковских цепей
- •4. Расчет цепи Маркова для стационарного режима
- •5. Понятие о непрерывном Марковском процессе,
7. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов
При проектировании различных систем (систем автоматического управления или регулирования некоторыми процессами и т.д.) и других практических задач возникает следующая задача:
- на вход некоторой системы подаётся «входной сигнал» - с.п. с известными характеристиками; система преобразует этот сигнал, в результате чего на выходе системыполучается случайный процесс, называемый «выходным сигналом»; требуется определить характеристики с.п. на выходе системы
(см. рис. 62).
Преобразование случайного процесса в случайную величину,осуществляемое системой (прибором), обычно записывается в видегде- называют преобразованием или оператором системы. Операторможет иметь любой вид: оператор сложения или умножения, оператором дифференцирования или интегрирования и т.д. Так. например, если, и операторесть оператор интегрирования
, то.
Все виды подобных преобразований (операторов) можно разделить на две различные группы: линейные и нелинейные. В свою очередь линейные преобразования линейные однородныеи линейные неоднородные. Преобразование (оператор) называется линейным однородным, если оно (он) обладает двумя свойствами:
1. Оператор суммы функций (с.п.) равен сумме операторов от каждой функции, входящих в сумму, т.е.
2. Постоянную величину можно выносить за знак оператора:
Другими словами оператор удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности.
Преобразование (оператор) называется линейным неоднородным, если оно состоит из суммы однородного линейного преобразованияс прибавлением заданной неслучайной функции, то есть
Примерами однородных линейных операторов являются оператор дифференцирования , оператор интегрирования, оператор умножения на заданную функцию. Все преобразования, не являющиеся линейными, называютсянелинейными. Примерами неоднородных линейных операторов являются:
Примерами нелинейных операторов являются: , и т.д.
8. Дифференцирование и интегрирование
случайных процессов (функций)
Пусть заданы характеристики и, некоторого случайного процессаи он подвергается действиюдифференцирования, т.е. следует определить случайный процесс «выходного сигнала», где оператор дифференцирования. Имеем
.
Требуется определить характеристики ис.п.«выходного сигнала».
Теорема 16.2. Математическое ожидание производной от с.п.равно производной от её математического ожидания
(16)
Доказательство. Предполагая, что с.п. является непрерывным, производная от него существует, а математическое ожидание предела равенства
,
также существует. Приравниваем м.о. обеих частей равенства, а затем изменим, порядок нахождения м.о. и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства). С учётом сказанного приходим к равенству
т.е. . Теорема доказана.
Замечание 1. Последняя формула показывает, что для среднеквадратических дифференцируемых случайных функций операции нахождения м.о. и дифференцирования можно менять местами, т.е.
).
Пример 6. Пусть математическое ожидание .
Решение. Искомое математическое ожидание получим из формулы (16)
Замечание 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной и обозначают, через Аналогично определяют производные более высоких порядков.
Задание. Найти в нашем примере и т.д..
Можно показать, что корреляционная функция производной от случайной функции равна второй смешанной производной от её корреляционной функции
.
Пример 7. Пусть задана корреляционная функция с.п. . Найти корреляционную функцию его производной.
Решение. Найдём частные производные от корреляционной функции по аргументами.
Отсюда следует, что искомая корреляционная функция равна
.
Перейдём к рассмотрению понятие интеграла от случайной функции.
Пусть заданы характеристики и, некоторого случайного процесса, а линейное преобразование случайного процесса состоит в том, что он подвергается действиюинтегрирования в отрезке , т.е. следует определить характеристики и, с.п.где «выходного сигнала», где оператор интегрирования. Положим
(17) .
Требуется найти характеристики с.п. Обычно (см. например, [Гмурманн]) определение интеграла от случайной функции даётся с помощью предельного соотношения, а именно:
Интегралом от случайной функции по отрезке [0,t] называют предельное значение среднеквадратического интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интерваламаксимальной длины, т.е.
Ниже приведём два утверждения, относящихся к характеристикам с.п. без доказательства.
Теорема 16.3. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от её математического ожидания, то есть справедливо равенство
(18) ,
и корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от её корреляционной функции, если(17), то
(19) .
Эти равенства доказываются стандартным путём на основании свойств м.о. и функции корреляции с.п. (см. [Гмурманн] гл.23).
Рассмотрим примеры на применении равенств (18) и (19).
Пример 8. Пусть м.о. и корреляционная функция, найти м.о. и корреляционную функцию с.п.определённую равенством (17).
Решение. Искомое м.о. Далее
Упражнение. Известны характеристики двух некоррелированных с.п. и, если
.
Найти математическое ожидание и корреляционную функцию с.п. .