4. 2. Доверительный интервал для математического ожидания

при неизвестной дисперсии

Обратимся теперь к случаю, когда параметр неизвестен. (он должен сам оцениваться по результатам наблюдений).

Пусть с.в.,неизвестна, а доверительная вероятностьзадана. Найдём числодля которого выполнялось соотношениеили

(48)

Введём случайную величину

(49)

исправленное среднеквадратическое отклонение с.в.вычисленное по выборке, (по которым мы условились определить с.в.),выборочное среднее, построенное по заданной выборке (см. 18.6)

.

В 15.2. было рассмотрено распределение Стьюдента. Аналогично показывается, что с.в. имеет распределение Стьюдента с () степенью свободы. Плотность этого распределения имеет вид:

(50)

где гамма – функция Эйлера;является чётной функцией по.

Преобразуя левую часть равенства (48) от с.в. к с.в. получим

где

(51)

Величина определяется из условия

Следовательно, из равенства пользуясь таблицей квантилей Стьюдента (см. приложение 6.), находим значениев зависимости от доверительной вероятностии числа степеней свободы, равные(есть квантиль уровня). Определив значение величиныиз равенства (51), находим значение:

(52)

Таким образом, равенства (48) принимает вид

.

А значит, интервал покрывает (ограничивает) величину м.о.с вероятностью. Другими словами, является доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания случайной величины, которую можно представить в виде

.

Пример 15. По условию примера 14, считая, что случайная величина распределена по нормальному закону:, построить для неизвестногодоверительный интервал. Считать, что. Напомним условие примера 14: произведено 5 независимых наблюдений над (относительно) с.в..

Результаты наблюдений таковы:

Найти оценку для а также построить для него 95% -й доверительный интервал.

Решение. Оценку величиныдля уже знаем:. Вычислим значение:

Сначала находимпо формуле

.

Поэтому Отсюда,. По таблице дляинаходим, чтоСледовательно,

По формуле (52)

.

Итак, доверительный интервал для математического ожидания таков: .

Далее, кратко рассмотрим, как нужно находить доверительного интервала для нормально распределённой случайной величины, в связи с математическим ожиданием.

4.3. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения

нормального закона распределения

Пусть с.в.,неизвестно, а доверительная вероятностьзадано. Здесь мы приводим существующие результаты без доказательства в зависимости от м.о. в двух случаях:

1. Математическое ожидание известно (т.е. можно вычислить), тогда имеет место утверждение.

Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратичного отклонения величины (стандарта)имеет вид:

где объём выборки,

,

а величины иявляются квантилями ираспределения сстепенями свободы (см.15.2) , равныеи определяются по таблице (приложение 5). Очевидно, что.

2. Математическое ожидание неизвестно, тогда имеет место утверждение.

Доверительный интервал для неизвестного среднеквадратичного отклонения величины (стандарта)имеет вид:

где объём выборки,являетсяисправленное среднеквадратическое отклонение

,

а квантили определяются соответственно по таблице (приложение 5) равенствами:

Пример 16. Для оценки параметра нормально распределённой случайной величины произведена (сделана) выборка в 30 единиц и известно (вычислено)

Найти доверительный интервал, покрывающий (содержащий в себе) величину с доверительной вероятностью.

Решение. По условиям примера имеем: По таблиценаходим:

;

Доверительный интервал имеет вид:

Кратко остановимся на доверительном интервале для оценки вероятности успеха при большом числе испытаний Бернулли. Точечная оценка имела вид:

В целях нахождения доверительного интервала, для оценки вероятности события, рассмотрим отклонения относительной частоты от истинной вероятностито есть разность

Учитывая, что вероятность появления события прииспытанияхраз, а следовательно, и относительная частота, определяется формулой Бернулли и при большихвычисляется по интегральной теореме Муавра- Лапласа, получим

,

где - надёжность требуемой оценки.

Переходя к новой переменной , получим

,

где определяется по таблице значений функции Лапласа из условия .Отсюда с вероятностью должно выполняться неравенство, где

(53)

Полученная оценка обладает двумя недостатками:

1) она зависит от неизвестной величины;

2) фраза «справедлива при больших » является понятием расплывчатым (не точным). От первого недостатка можно избавиться. Путём заменыпод квадратным корнем, что даёт для оценки истинной вероятности событияследующий доверительный интервал,

(54)

который с надёжностью покрывает оцениваемый параметр

Второй недостаток устраняется путём заменой точного распределения разности () на нормальное распределение. Практически удовлетворительный результат получается при.

Пример 17. Из подвергнутых испытаниям на сортность 100 единиц товара 80 выдержали его. Найти доверительный интервал с надёжностью 0,95 для вероятности того, что произвольно выбранный образец удовлетворяет предъявленным условиям.

Решение.В качестве точечной оценки неизвестного параметра принимаем числаи определяем равенством. По доверительной вероятности с помощью таблицы значений функции Лапласа находими затем на основании формуле (53) определяем доверительный интервал:.

Пример 18.Для проверки фасовочной установки было отобраны и взвешены 20 упаковок, были получены следующие результаты (в граммах).

246	247	247,3	247,4	251,7	252,5	252,6	252,8	252,8	252,9
253	253, 6	254,6	254,7	254,8	256,1	256,3	256,8	257,4	259,2

Найти доверительные интервалы для математического ожидания с надёжностью 0, 95 и среднеквадратического отклонения с надёжностью 0,9, предполагая, что измеряемая величина распределена по нормальному закону.

Решение.Находим точечные оценки дляи.

.

Определим по таблице распределения Стьюдента (приложение 6) для доверительной вероятности с числом свободысоответствующее значение, и по формуле

находим искомый интервал надёжности:

Для построения доверительного интервала для с.к.о. с надёжностьюнаходим по таблице распределения значенийсстепенями свободы (приложение 5) из условий:

Задание. Выполните самостоятельно завершающие выкладки и убедитесь в справедливости полученных оценок (результатов) снизу и сверху (см. решение примера 16).

Задачи с указаниями.

Глубина нефтяной скважины измеряется некоторым прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены по нормальному закону с дисперсией 225 кв. м (т.е.. Сколько раз нужно провести независимые измерения, чтобы определить глубину скважины с ошибкой не более 5 м, если надёжность вероятности равна

Указание.Нужно воспользоваться

При ; показать, чтоПо таблице находить:. Наконец, по формуле, убедиться чтот.е. необходимо произвести не менее 25 раз измерений.

Измерили рост (с некоторой точностью скажем до 1 см.) 30 наудачу отобранных

студентов. Результаты измерения показали:

(см. условие примера 6, 18.4.,).

Найти доверительный интеграл для среднего роста студентов, при надёжности вероятности

Указание. Покажите, что при и по таблице распределения Стьюдента находить равенство. Наконец, вычислите по формулеи убедитесь, что доверительный интервал будет

3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью

появления события в каждом испытании.

Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью, если в 400 раз проведённых наблюдений, событие наступило (появилось) 80 раз.

Указание. По заданным условиям ,относительная частота событияравнаИз соотношенияи таблицы значений функции Лапласа найдите:далее по формулам (53) и (54) вычислите величиныив итоге покажите, что доверительный интервал будет иметь вид: