3. Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественногоиликоличественногопризнака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали, или, рассматривая работу диспетчера парикмахера, продавца, оператора технологической линии, и др., следует исследовать:

его загруженность, тип клиентов, скорость обслуживания, моменты поступления заявок и т.д.

Каждый из таких признаков или различные сочетания их образуют случайную величину, наблюдения над которыми мы и производим. Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых при постоянных условиях над каждым объектом, обычно называют генеральной совокупностью.

Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов всей совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Генеральная совокупность – это случайная величина,заданная на пространстве элементарных событий с выделенным в нём классомподмножеств событий, для которых указаны их вероятности, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Выборочной совокупностью, или простовыборкой, называют совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Более точно:выборка – это последовательностьнезависимых одинаково распределенных с.в., распределение каждой из которых совпадает с распределением самой генеральной случайной величины.

Количество наблюдаемых объектов в совокупности, генеральной или выборочной называется её объёмом; обозначается соответственно буквамии. Например, если издеталей отобрано для обследованиядеталей, то объемом генеральной совокупности, а объемом выборки .

Конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений (испытаний), называют реализацией выборки и обозначают строчными буквами.

Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности делается заключение обо всей генеральной совокупности, называется выборочной.

Обычно, в целях получения достаточно «хороших» оценок характеристикгенеральной совокупности необходимо, чтобы выборка быларепрезентативной(представительной), то есть, чтобы она достаточно полно представляла изучаемые признаки генеральной совокупности. Условием обеспечения такой выборки является, согласно закону больших чисел, соблюдениеслучайности производимого отбора, то есть все объекты генеральной совокупности, попадающие в данную выборку, должны иметь равные вероятности (равные возможности).

Различают выборки с возвращением(повторные) ибез возвращения(бесповторные). В первом случае отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед началом следующего испытания; во втором – не возвращается. На практике чаще используется бесповторная выборка.

Если объём выборки значительно меньше, чем объём генеральной совокупности, то можно не учитывать различие между повторной и бесповторной выборками . В зависимости от конкретных условий для обеспечения представительности выборки применяют различные способы отбора. Их можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности. Сюда относятся:

а) простой случайный бесповторный отбор;

б) простой случайный повторный отбор;

Простым случайным отбором называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному (случайным образом) из всей генеральной совокупности.

Если карточку возвращают в пачку каждый раз перед очередным выбором, то выборка является простой случайной бесповторной.

Если карточку не возвращать в пачку каждый раз перед очередным выбором, то выборка является простой случайной повторной.

Например, для извлечения nобъектов из генеральной совокупности объемаNпоступают так: выписывают номера от 1 доNна карточках, которые тщательно перемешивают и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточка возвращается в пачку (или не возвращается) и процесс повторяется, т.е. карточки перемешиваются, наугад вынимают одну из них и т.д. Так поступаютn раз; в итоге получают простую случайную повторную (бесповторную) выборку объемаn.

Следует отметить, что при большом объёме генеральной совокупности указанный процесс трудоёмкий. В таких случаях пользуются готовыми таблицами так называемых «случайных чисел»,в которых числа расположены в случайном порядке. Среди них, например, чтобы отобратьобъектов из перенумерованныхвсего объектов генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подрядчисел. В выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписаннымислучайными числами. Если какое-то случайное число окажется больше чем, то оно пропускается. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:

а) типический отбор;

б) механистический отбор;

в) серийный отбор.

- типическим отбором называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой её «типической» части.

Например, перед выборной компанией при анализе рейтинга определённых государственных деятелей опрашивают мнение случайно отобранных людей различных по признаку пола, возраста, социального статуса и т.д.. Другой пример, детали изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, изготовленных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности, и т.д.

Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типических частях» генеральной совокупности. Если продукция изготавливается на нескольких технологических машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

-механистический отбором, называют такой отбор при котором генеральная совокупность «механически» делят на группы, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. (например, опрос мнения по некоторому вопросу у каждого человека с простым порядковым номером); или, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь и т. д.

Следует указать, что иногда механический отбор ни всегда может обеспечить представительностивыборки. Например, если отбирается каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае надо устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.

-серийным отбором называют такой отбор, при котором объекты из генеральной совокупности отбираются «сериями», которые должны исследоваться при помощи сплошного обследования.

Например, если изделия изготавливают большой группой станков – автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

Пример 1. Пятьдесят абитуриентов проходят тестирование по математике. Каждый из них может набрать от 0 до 5 балов включительно. Пустьколичество балов набранныхм, абитуриентом.

Тогда значения будут возможные количества баллов, набранных одним абитуриентом, из которых образуют генеральную совокупность.

Выборка результат тестированияабитуриентов.

Реализациями выборки могут быть, например, следующие наборы чисел: ,…,

, и т.д., где в каждом из этих наборов (подмножеств) поцифр, общее число наборов

Замечание.Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных «выборки».