6. Числовые характеристики

статистического распределения

Пусть требуется изучить количественный признак ге­неральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распре­деление имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распре­деление. Например, если априори (до эксперимента) известно, что изучаемый признак в генеральной совокупности распределен нормаль­но, то необходимо оценить (приближенно найти) математи­ческое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормаль­ное распределение. Если же есть основания считать, что признак имеет, например распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр которым это распреде­ление определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака , полученные в результате наблю­дений (здесь и далее наблюдения предполагаются незави­симыми). Через эти данные можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.

Предположим, что статистическое распределение выборки объёма (таблица) имеет вид:

Выборочным средним (или математическим ожиданием выборки) называется среднее арифметическое всех значений выборки:

(7)

Выборочное среднее с учётом значения относительной частоты можно записать и так:

(8)

Для обозначения выборочного среднего используют: .

Следует отметить, что в случае интервального статистического ряда в равенстве (7) в качестве берут середины его интервалов, а в качествесоответствующие им частоты.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной среднейт.е.

(9)

или, с учётом выборочной относительной частоты имеем

(10)

Ввиду того, что наблюдения проводятся независимые, можно доказать вычислительную формулу, где

(11)

или

Следует отметить, все основные свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее (см. Т.8.) сохраняются.

Выборочное среднеквадратическое отклонение выборкиопределяется формулой

(12) .

Особенность выборочного среднеквадратичного отклонения состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

При решении практических задач используется и величина

(13) .

Величина называется исправленной выборочной дисперсией, а величина

(14)

- называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.

Для непрерывно распределённого признака формулы для выборочных средних будут такими же, но за значения последовательности следует брать не концы промежутков,а их середины

В качестве описательных характеристик вариационного ряда или полученного из него статистического распределения выборки (таблицы) используется медиана, мода, размах выборки (вариации) и т.д.

Размахом вариацииназывается число,гдеилигденаибольший,наименьший вариант статистического ряда.

Модойвариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медианойвариационного ряда называется значение признака (с.в.), приходящееся на середину ряда, при этом

(15)

Пример 8.По условиям примера 3 найти характеристики выборки результаты тестирования десяти абитуриентов.

Решение. Сначала приведём полученные таблицы частоты и относительные частоты (см. решение примера 3) из примера 3:

	0	1	2	3	4	5
	1	2	1	1	2	3

где . Контроль.

	0	1	2	3	4	5

где . Контроль.

На основании определений, таблиц и формулы (7)-(15) соответственно получим:

1.

2. ,

3. ,

4.

5.

6.

7. ,

8.

Упражнение. На одном из телефонных станции города «П» производились наблюдения за количеством неправильных соединений в минуту.

Результаты наблюдений в течение одного часа представлены в виде статистического распределения.

			2	3	4	5	6
	8	17	16	10	6	2	1

1.а) построить полигоны частот и относительных частот.

б) построить гистограммы частот и относительных частот.

2.Найти значения выборочные среднее и дисперсию. Сравните распределение относительной частоты с распределением Пуассона

.

Ответы: ,

.

3.Проверьте равенствои убедитесь, что с.в.количество неправильных соединений имеет фактически пуассоновское распределение.