2. Задача математической статистики

В курсе теории вероятностей были введены правила, которые позволяли по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятность других событий, связанных с ними: по числовым характеристикам и функциям распределения одних случайных величин можно было найти функции распределения и числовые характеристики других. Возникает естественный вопрос: как найти эти исходные вероятности, числовые характеристики и функции распределения? Как оценить хотя бы приближённые их значения? Это является предметом исследования науки о массовых случайных явлениях, которая получила название «математическая статистика» (МС). Как наука со своей установившейся тематикой и методами исследования МС сформировалась, в сущности, только в ХХ веке. Однако отдельные её задачи возникали и рассматривались задолго до ХХ века – и вXVII–XIXвв.

Термин «статистика» происходит от латинского слова «статус» (status) – состояние. Первоначально вXVIIIвеке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих основные информации (данные) о состояние общества (государства). При этом даже не предполагалось, что введению статистики подлежат только явления массового порядка. В настоящее время статистика как наука включает в себя определённое содержание, а именноустановление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основанные на изучении статистических данных – результатах наблюдений.

Приведём основные задачи МС:

- первая задача это разработка приёмов и методов статистического наблюдения в процессе сбора статистических данных.

- вторая задача математической статистики – указать способы группировки (если данных очень много) статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;

- третья задача математической статистики является разработка методов анализа собранных статистических информаций, в зависимости от поставленных целей и задач исследования, и выявить тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе собранных данных массового наблюдения;

Этот раздел фактически и составляет содержание науки математической статистики. На практике человеческой деятельности сбор статистических сведений, касающихся главным образом населения, производился уже давно: имеются сведения, что в 2238 году до н.э. в Китае при императоре Яо была произведена перепись населения. Переписи населения производились и в Древнем Иране, в Древнем Египте, Римской империи; известны переписи населения в России в 1245, 1259, 1273, 1287гг. и более поздние сроки. Следует отметить, что эти переписи были чрезвычайно примитивны. В Китае, например, в течение, 200 лет население учитывалось путём копировки списков предыдущих переписей. Однако, даже такие неполные и несовершенные переписи давали возможность намечать важные государственные мероприятия. На данном этапе этот вопрос является весьма актуальным во всех государствах. Практическое значение статистики в наше время, бесспорно, возросло многократно.

Роль математической статистики не ограничивается вопросами обработки экспериментальных данных, а распространяется и на управленческие процессы в целом, а, в частности, на разнообразные технологические процессы, а также на проблему «проверки соответствия теории того или иного явления экспериментальным данным».

Исходным материалом для статистического исследования реального явленияслужит набор полученных результатов наблюдений или же набор результатов специально поставленных опытов (испытаний) над исследуемыми объектами. Вопросы, которые возникают при исследование, очень много и разнообразные по своему содержанию. Укажем на некоторые из них:

1. Оценка значения неизвестной вероятности случайного события;

2. Определение неизвестной функции распределения и их основных числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсии и среднеквадратичное отклонение);

3. Определение неизвестных параметров распределения.

Общая задача ставится так: в результате - независимых испытаний над случайной величинойполучены следующие её значения. Требуется определить хотя бы приближённо неизвестную функцию распределениявеличины.

Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определённые заключения о типе функции распределения интересующей нас случайной величины. Так, например, теорема Ляпунова даёт возможность считать, что в определённых случаях функция распределения должна быть нормальной. При этом определение неизвестной функции распределения сводится к определению по результатам наблюдения только неизвестных параметров .

Общая задача ставится так: случайная величинаимеет функцию распределения данного вида, зависящую отпараметров, значения которых неизвестны. На основании практических наблюдений величинынужно найти последовательно значение этих параметров.

Очевидно, что определение неизвестной вероятностисобытияявляется частным случаем только что сформулированной задачи. Так как мы можем рассматривать случайную величину, принимающую значение 1, если событиепоявляется - «успех» и значение 0, если событиене появляется - «не удача» в данном испытании. Следовательно, функция распределения зависит от единственного параметра.

4. Проверка статистических гипотез.

Эта задача ставится следующим образом: на основании некоторых предположений можно считать, что функция распределения случайной величиныесть.

Возникает естественный вопрос, согласуются ли полученные значения с гипотезой в результате проведённого наблюдения (опыта), что с.в.действительно имеет данное распределение.

В частности, если вид функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждается только значения некоторых параметров, характеризующих данное распределение, то в задаче ставиться вопрос: не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предположенные значения? Эта задача есть «проверки простой гипотезы».

Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не полностью множество значения, а часть из этих множеств значения (например, в случае биномиального распределения, гипотеза выполняется с ограничением), то гипотеза называетсясложной.

В качестве примера статической гипотезы приведём проверку однородности статистического материала. Наиболее часто встречается в русле такой задачи следующее: имеются две последовательности независимых наблюдений над случайной величинойс функцией распределения, и над случайной величинойс последовательностью со значениямии с функцией распределения. Функции распределенияинеизвестны. Требуется оценить правдоподобность гипотезы.

5. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величини. Результаты наблюдений даны следующими парами значений: Выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между двумя случайными величинамии.

6. Управление процессами. Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени. Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить своё нормальное протекание стать другим, т.е. будет протекать по другому процессу. Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и следует

исследователю своевременно заметить момент «разладки» и оказать соответствующее воздействие с целью восстановления нормального хода процесса.

В качестве примера можно указать на работу технологического процесса (линии), которая вырабатывает определённую продукцию. Время от времени в силу различных причин процесс выходит из нормального состояния. Этими причинами могут служить сбой некоторых частей инструментов (затупление инструмента, нарушение энергетического снабжения и т.д.). Они приводят к ухудшению качества выпускаемого продукта от предусмотренного стандарта.

В этих случаях требуется по наблюдениям уловить момента разладкии восстановить ход процесса.

Следует заметить, что перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы математической статистики. Совершенно новые и разнообразные задачи возникают перед наукой математической статистики в связи быстрыми темпами развитием научной и практической промышленности, а также происходящие глобальные изменения, в мировом масштабе.

Изучение тех или иных явлений методами математической статистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых наукой и практикой (правильная организация технологического процесса, оптимальное планирование в экономических и финансовых сферах, своевременная регулировка экологических и социальных проблем в глобальном масштабе и др.). В частности, само планирование «испытаний» является одной из важнейшей задачей математической статистики.

Итак, если кратко резюмировать вышесказанное, то при решении многих прикладных задач для случайных величин определяются их вероятностные и числовые характеристики

на основе статистического анализа экспериментальных данных.

Статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики, а «задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов».

Перейдём к изложению, одного из важнейших разделов математической статистики без которого в целом невозможно успешно изучать предмет математической статистики.