Течение газов
Процессы течения газов в каналах различной формы встречаются при проектировании различных технологических устройств. Расчет таких процессов базируется на основных уравнениях газовой динамики. Применение этих уравнений и остальных законов термодинамики позволяет определить значение скоростей и остальных параметров потока в любом сечении канала. В настоящей лекции рассматриваются процессы течения газа в рамках установившейся и одномерной модели потока.
Установившееся (стационарное) течение – это течение, при котором в каждой точке пространства параметры потока не изменяются во времени. Одномерное течение – течение, при котором параметры газа изменяются только в одном направлении, т.е. в каждом поперечном сечении потока все параметры, а также скорость являются постоянными. Однако известно, что вследствие вязкости газа скорость его в пределах поперечного сечения несколько изменяется (рис. 9.1). Максимальная скорость имеет место на оси канала, у стенки скорость газа равна нулю. При допущении одномерности течения газа его действительные параметры в каждом поперечном сечении заменяются их усредненными значениями, что упрощает вид основных уравнений газовой динамики.
Рис. 9.1. Эпюра распределения скоростей в канале
Если течение газа происходит без теплообмена с окружающей средой и без трения, то такое движение называется адиабатным течением.
При
исследовании одномерного течения
определяют изменение давления и
плотности
по сечениям вдоль потока. Для описания
течения газов обычно применяют систему
уравнений, включающих уравнения движения,
неразрывности, первого закона термодинамики
и состояния газа, движение которого
изучается.
Уравнения движения
Рассмотрим движение потока идеального газа через трубу переменного сечения (рис. 9.2).
Рис. 9.2. К выводу уравнения движения
Выделим в произвольный момент времени объем газа между двумя близкими сечениями трубы F и F+dF, находящимися на расстоянии dх. Если пренебречь силой вязкости, то объем газа движется в направлении оси х со скоростью w под действием поверхностных сил от давления. Согласно второму закону механики, уравнение движения газа, находящегося в объеме Fdх, имеет вид:
,
или:
.
С точностью до малых первого порядка:
,
(9.1)
где
давление P
= f(x,);
плотность
= (x,)
и скорость w
= w(x,).
В последнем уравнении
-
полная производная, то есть:
,
(9.2)
отсюда
.
(9.3)
Для
установившегося движения
,
и поэтому
,
или
,
(9.4)
где Р, , w являются функциями только координаты х. Последнее уравнение называется уравнением Бернулли в дифференциальной форме. Если = const, то после интегрирования получим:
,
(9.5)
где
- скоростной напор.
Если плотность зависит от давления = (Р), то уравнение Бернулли можно записать в интегральной форме:
.
(9.6)
Для вычисления интеграла давления
необходимо знать зависимость = (Р) или Р = Р().
С
учетом соотношения
получаем:
.
(9.7)
Отсюда видно, что dP и d имеют всегда противоположные знаки, т.е. скорость одномерного потока газа возрастает в направлении уменьшения давления.