2. Уравнение первого закона термодинамики для потока газа

Ранее было показано, что dq = di – vdP. Т.к. , то

. (9.8)

Из этого уравнения видно, что теплота dq, подведенная к элементарной массе потока, идет на увеличение его энтальпии di и кинетической энергии, которую можно превратить в механическую работу. При адиабатном течении газа dq = 0, и для этого случая:

, (9.9)

т.е. сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии сохраняет постоянное значение. Последнее уравнение справедливо как для обратимых, так и для необратимых течений. Если газ при течении по каналу совершает техническую работу l_тех, то уравнение первого закона имеет вид:

, или

. (9.10)

При адиабатном течении газа dq = 0, отсюда:

(9.11)

После интегрирования:

. (9.12)

3. Располагаемая работа газа в потоке

Ранее было показано, l₀ – располагаемая работа равна: l₀ = -vdP, но , т.е. располагаемая работаl₀ при течении газа равна его кинетической энергии:

l₀ = . (9.13)

Из уравнения видно, что при обратимом процессе увеличение скорости w связано с уменьшением давления, и наоборот, уменьшение скорости сопровождается повышением давления.

Сопла – это каналы, в которых происходит расширение газа с уменьшением давления (dP 0) и увеличением скорости (d w  0).

Диффузоры - это каналы, в которых происходит сжатие газа с увеличением давления (dP  0) и уменьшением скорости (d w  0).

Из последнего уравнения видно, что необходимым условием получения располагаемой работы является уменьшение давления, т.к. при dP 0, dl₀  0. Если dP= 0 (в течение процесса давление постоянное), то располагаемая работа равна нулю.

Как известно, располагаемая работа l₀ зависит от вида процесса. Причем располагаемая работа может быть больше, меньше работы расширения или равна ей.

Для адиабатного процесса расширения газа l₀ = kl, или

.

Для адиабатного течения газа располагаемая работа может быть определена через энтальпию. Т.к.

, а

, то . (9.14)

Следовательно, располагаемая работа газа при адиабатном течении равна разности энтальпий в начальном и конечном состояниях.

4. Уравнение неразрывности

Рассмотрим движение потока газа через трубу переменного сечения (рис. 9.3). Если течение газа установившееся, то через любое произвольное поперечное сечение трубы в единицу времени протекает одна и та же масса газа.

, или и, где (9.15)

 - плотность; F – площадь поперечного сечения трубы; w - скорость; v – удельный объем.

Рис. 9.3. К выводу уравнения неразрывности

Уравнение называетсяуравнением неразрывности или сплошности потока. Данное уравнение устанавливает связь между площадью проходного сечения канала и скоростью потока. Для несжимаемого потока газа  = const, поэтому wF= const, т.е. с увеличением поперечного сечения трубы скорость  убывает и наоборот.

Значительно сложнее течение сжимаемого газа. В этом случае профиль сопла при данном расходе газа m = const будет зависеть не только от характера изменения скорости , но и от плотности  (удельного объема v), который изменяется по закону адиабаты.

Логарифмируя и дифференцируя уравнение сплошности (при m = const) получаем:

Это уравнение неразрывности в дифференциальной форме, которое с помощью уравнения Бернулли может быть приведено к форме

, или , (9.16)

где а – местная скорость звука.

Отношение скорости газа w к местной скорости звука а в этом же сечении канала

называют числом Маха. Различают дозвуковую и сверхзвуковую скорости газа. При М  - сверхзвуковая, при М   - дозвуковая скорости течения.