контольная по математике

перимент был поставлен неправильно. Не могут быть одновременно и ошибка в теоретических расчётах, и неправильно поставленный эксперимент. Если в теоретических расчётах, нет ошибки, то эксперимент поставлен правильно. Следовательно, в результате эксперимента получен верный результат.

9. Если цены высоки, то заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Инфляция наблюдается. Следовательно, заработная плата высока.

10. Я продам свои акции только тогда, когда буду уверен в себе и будет согласна жена. Жена согласна продать мои акции, но я не сделал этого, а решил повременить. Следовательно, я не уверен в себе.

Задание 2. Задано бинарное отношение ρ на множестве М = {1, 2, 3, 4}. Является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Ответ обоснуйте.

	Номер	Отношение ρ
	задачи
	11	{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}
	12	{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}
	13	{(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
	14	{(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}
	15	{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}
	16	{(1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}
	17	{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)}
	18	{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 3)}
	19	{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}
	20	{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1)}

11

Задание 3. На множестве Е рассмотрите операции: сложение, вычитание, умножение. Являются ли они бинарными на Е? Ответ обоснуйте.

	Номер	Множество Е
	задачи
	21	Множество всех отрицательных целых чисел
	22	Множество всех чётных натуральных чисел:
		Е = {2n ½ n Î N}
	23	Множество всех отрицательных рациональных чисел
	24	Множество всех целых чисел, кратных трём:
		Е = {3n ½ n Î Z}
	25	Множество всех целых чисел, кратных четырём:
		Е = {4n ½ n Î Z}
	26	Множество всех целых чисел, кратных пяти:
		Е = {5n ½ n Î Z}
	27	Множество всех целых чисел, кратных шести:
		Е = {6n ½ n Î Z}
	28	Множество всех целых чисел, кратных семи:
		Е = {7n ½ n Î Z}
	29	Множество всех целых чисел, кратных восьми:
		Е = {8n ½ n Î Z}
	30	Множество всех целых чисел, кратных девяти:
		Е = {9n ½ n Î Z}

Задание 4. Докажите, что в метрическом пространстве с метрикой ρ(М1, М2) пределом последовательности {Мn} является точка М0 .

Номер				r(М1, М2)												Мn					М0
задачи
								(	1	,		1		,	1	+ 1)
31		(x1	− x2 )2	+ ( y1 − y2 )2		+ (z1 − z2 )2															(0, 0, 1)
												n
									n						n
								(	1	,		1		+ 2 ,			1			+ 1)
32		(x1	− x2 )2	+ ( y1 − y2 )2		+ (z1 − z2 )2															(0, 2, 1)
												n
									n								n
33	x1 – x 2 + y1 – y 2 + z1 – z 2							(	1	,		1		,	n + 1				)		(0, 0, 1)
												n
									n							n
								(	1			,	2n + 1					)
34		(x1	− x2 )2	+ ( y1 − y2 )2																	(0, 2)
									2n
															n

12

							(	2n + 1											1			)
35		(x1 − x2 )2	+ ( y1	− y2 )2												,																		(1, 0)
									2n
																		3n
36	x1 – x2 + y1 – y2						(	2n + 1								,			1				)											(2, 0)
										n
																		2n
							(	(−1)n								,		1		− n						,			1 + n			)
37		(x1 − x2 )2	+ ( y1	− y2 )2	+ (z1 − z2 )2																													(0, -1, 1)
										n
																1				+ n										n
							( −			1		,		1 − n										,			n + 1				)			(0, -	1	, 1)
38		(x1 − x2 )2	+ ( y1	− y2 )2	+ (z1 − z2 )2
										n 1						+ 2n													n					2
39	x1 – x2 + y1 – y2 + z1 – z2							(−1)n								1				− 2n										n				(0, -2, 1)
							(	2n								, 1 + n , n + 1 )
							(	1					,			2				,	3								)
40		(x1 − x2 )2	+ ( y1	− y2 )2	+ (z1 − z2 )2																													(0, 0, 0)
																	n
										n															n

Задание 5. Вычислить производные функций f (x) и g (x):

Номер

f(x)

g(x)

задачи

41

tgx

3x-0,5

+ (2x – 4)

4

ln(x +

5)

42

e x

2x0,5 + (2x – 3) 4

ln(4x −

3)

43

sin 2x

4x-0,5

+ (5x – 1)

3

ln(x +

9)

44

cos 2x

3x-0,5

+ (5x – 4)

5

ln(x +

1)

45

ctgx

5x0,5 + (2x – 1)

4

ln(2x − 1)

46

e

3 x

4x-0,5 + (3x – 2) 4

sin x

47

cos 3x

6x-0,5

+ (4x – 1)

4

e2 x

48

ctg3x

2x0,5 + (2x – 5)

4

ln(2x +

1)

49

e4 x

3x0,5 + (2x – 1) 5

sin(3x + 1)

50

cos(2x + 4)

4x-0,5

+ (3x – 7)

5

e4 x

13

Задание 6. Найти неопределённые интегралы:

Номер

а

б

задания

51

∫

(sin x −

2

x

)dx

∫

1

dx

x ln 2 x

52

∫

(cos x +

3e

x

)dx

∫ x

2

e

− x3

dx

53

∫ (3

tg 4 x

x + sin x)dx

∫

dx

cos2 x

54

∫

(cos x − 2

∫

sin x

x )dx

cos 2 x − 4

55

cos x

∫ (23 x + e x )dx

∫

dx

sin

2

x

56

∫ (3

+ 2e x )dx

∫

sin(ln x)

dx

x

x

57

sin

∫ (3

x

x + 2 sin x)dx

∫

dx

x

58

∫

∫ x × 5

x

2

(

3

x + 4 cos x)dx

dx

59

∫

2

+ e x )dx

1

e

(

∫

x

dx

cos2 x

2

x

60

∫

(2e x +

1

∫ xex

2

)dx

dx

sin

2

x

Задание

7.

Из

колоды,

содержащей

52 карты, вынули

n карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях окажется ровно k тузов?

	Номер	n	k
	задачи
	61	10	2
	62	10	3
	63	10	4
	64	9	1
	65	9	2
	66	9	3
	67	8	1
	68	8	2
	69	8	3
	70	7	1

14

Задание 8. Сколько чисел во множестве чисел от 1 до N не делится на k, m, p?

Указания:

а) количество чисел во множестве N = {1, 2, 3, …, N}, де-

лящихся на t, равно целой части числа N ;

t

б) для решения задачи воспользуйтесь формулой включения и исключения.

	Номер	N	k	m	p
	задачи
	71	100	3	5	7
	72	90	3	5	7
	73	95	2	3	7
	74	95	3	5	7
	75	90	2	5	7
	76	100	2	5	7
	77	90	2	5	7
	78	100	2	3	5
	79	95	2	3	5
	80	90	2	3	5

Задание 9. Найдите вероятность указанного события.

Номер

Условие задачи

задачи

81На базе находятся лампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, 30% – вторым. Известно, что из каждых 100 ламп, произведённых первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 ламп, произведённых вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80. Найти вероятность того, что взятая наудачу стандартная лампа произведена на первом заводе

82Пассажир может купить билет в одной из трёх касс. Вероятности обращения к каждой кассе равны соответственно 0,5; 0,2 и 0,3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, для каждой кассы равны 0,3; 0,6 и 0,1 соответственно. Пассажир купил билет в одной из касс. Найти вероятность того, что билет куплен в первой кассе

83В группе 5 отличников, 12 хорошо успевающих и 9 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент, и он сдаёт экзамен на оценку “4”. Найти вероятность того, что вызванный студент из занимающихся слабо

15

84В первой из двух урн находятся 3 белых шара и 1 чёрный, во второй – 2 белых и 2 чёрных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 чёрный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из второй урны

85На базе находятся лампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 60% изготовлены первым заводом, 40% – вторым. Известно, что из каждых 100 ламп, произведённых первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 ламп, произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80. Найти вероятность того, что взятая наудачу стандартная лампа произведена на втором заводе

86В первой из двух урн находятся 3 белых шара и 1 чёрный, во второй – 2 белых и 2 чёрных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 чёрный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из первой урны

87В группе 8 отличников, 10 хорошо успевающих и 5 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент, и он сдает экзамен на оценку “4”. Найти вероятность того, что вызванный студент из занимающихся слабо

88Пассажир может купить билет в одной из трёх касс. Вероятности обращения к каждой кассе равны соответственно 0,6; 0,1 и 0,3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, для каждой кассы равны 0,3; 0,6 и 0,1 соответственно. Пассажир купил билет в одной из касс. Найти вероятность того, что билет куплен во второй кассе

89В первой из двух урн находятся 2 белых шара и 2 чёрных, во второй – 2 белых и 3 чёрных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 чёрный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из первой урны

90В группе 5 отличников, 12 хорошо успевающих и 9 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент, и он сдаёт экзамен на оценку “5”. Найти вероятность того, что вызванный студент из отличников

Задание 10. В результате обследования бюджета 150 семей города были получены следующие данные (см. табл.).

Задание:

а) найдите вероятность того, что средний доход на члена семьи в городе отклоняется от среднего дохода, полученного в выборке, не более, чем на 400 руб. (по абсолютной величине), если

16

число семей в городе достаточно велико по сравнению с объёмом выборки;

б) используя χ2-критерий Пирсона на уровне значимости α = 0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – доход на одного члена семьи в месяц – распределена по нормальному закону; построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

			Условие задачи
Номер	Доход на одного
задачи	члена семьи в месяц,	6–7		7–8	8–9	9–10	10–11	11–12
	тыс. руб.
91	Число семей	20		29	38	40	15	8
92	Число семей	22		36	39	36	9	8
93	Число семей	20		40	37	36	9	8
94	Число семей	20		38	36	36	11	8
95	Число семей	20		38	36	36	10	10
96	Число семей	18		38	40	36	10	8
97	Число семей	20		38	40	36	9	7
98	Число семей	18		38	39	38	9	8
99	Число семей	18		38	40	36	10	8
100	Число семей	18		38	39	38	9	8

17

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Предполагается, что студент ознакомлен с основными понятиями и теоретическими положениями разделов программы.

Задача 1. Проверьте правильность рассуждения, применяя математические методы:

Если Иванов является участником преступления, то он знал потерпевшего. Иванов не знал потерпевшего, но знал его жену. Потерпевший знал Иванова. Следовательно, Иванов не является участником преступления.

Р е ш е н и е:

Введём обозначения следующих высказываний:

А – Иванов является участником этого преступления; В – Иванов знал потерпевшего; С – Иванов знал жену потерпевшего;

D – Потерпевший знал Иванова.

Запишем схематически рассуждение, указанное в условии задания:

А В, B С, D

.

A

Этому рассуждению соответствует формула:

(А В) ( B С) D A .

Обозначим её символом Ф:

Ф = [(А В) ( B С) D A ] .

Если эта формула является тождественно истинной (тавтологией), то рассуждение является правильным. В противном случае – неправильным.

Проверку формулы на тождественную истинность проведём двумя способами. Первый способ основывается на составлении для формулы таблицы истинности. Составим такую таблицу для нашей формулы Ф.

18

А

В

С

D

A B

B

С

(А В) (

B

С) D

A

Ф

B

л

л

л

л

И

И

Л

Л

И

И

л

л

л

и

И

И

Л

Л

И

И

л

л

и

л

И

И

И

Л

И

И

л

л

и

и

И

И

И

И

И

И

л

и

л

л

И

Л

Л

Л

И

И

л

и

л

и

И

Л

Л

Л

И

И

л

и

и

л

И

Л

Л

Л

И

И

л

и

и

и

И

Л

Л

Л

И

И

и

л

л

л

Л

И

Л

Л

Л

И

и

л

л

и

Л

И

Л

Л

Л

И

и

л

и

л

Л

И

И

Л

Л

И

и

л

и

и

Л

И

И

Л

Л

И

и

и

л

л

И

Л

Л

Л

Л

И

и

и

л

и

И

Л

Л

Л

Л

И

и

и

и

л

И

Л

Л

Л

Л

И

и

и

и

и

И

Л

Л

Л

Л

И

Последний столбец составленной таблицы содержит только значения “ истина”, т.е. формула является тождественно истинной, а потому рассуждение правильное.

Второй способ проверки формулы на тождественную истинность основывается на анализе возможности того, что составленная формула не является таковой. В данном случае указанный способ реализуется следующим образом.

Допустим, что формула не является тождественно истинной, т.е. существует такой набор истинностных значений входящих в неё букв, при которых формула Ф примет значение “ ложь”. Это может быть только в том случае, когда посылка импликации истинна, а заключение – ложно, т.е. истинно

(А В) (		С) D,	(1),
	B

а значение A соответствует значению “ ложь”. Из истинности формулы (1) (по определению конъюнкции) следует, что:

(А В) – истинно, (		С) – истинно, D – истинно	(2).
	B

Из того, что A соответствует значению “ ложь” ( по определению отрицания) следует, что значение А будет истинным. Итак, А истинно и (А В) истинно. Тогда (по определению импликации) истинным является В. Отсюда следует, что B ложно (по оп-

19

ределению отрицания). Из последнего получаем, что B ÙС принимает ложное значение (по определению конъюнкции). Получили противоречие условию (2). Следовательно, допущение неверно, и формула Ф является тождественно истинной. А значит, рассуждение правильное.

О т в е т. Рассуждение правильное.

З а м е ч а н и е. В контрольной работе достаточно представить один способ проверки формулы.

Задача 2. Задано бинарное отношение ρ на множестве М = {1, 2, 3, 4}. Является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Ответ обоснуйте.

r= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.

Ре ш е н и е:

1. Отношение ρ, заданное на множестве М, называется рефлексивным, если для всякого элемента а из этого множества выполняется условие: (а, а) Î ρ.

Для данного отношения ρ это условие не выполняется, т.к., например, (2, 2) Ï ρ.

2. Отношение ρ, заданное на множестве М, называется симметричным, если для всяких элементов а, b из этого множества выполняется условие:

(a, b) Î r (b, a) Î r .

Для данного отношения ρ это условие не выполняется, т.к.,

например, (1, 2) Î ρ, но (2, 1) Ï ρ.

3. Отношение ρ, заданное на множестве М, называется антисимметричным, если для всяких элементов а, b из этого множества выполняется условие:

[(a, b) Î r Ù (b, a) Î r] a = b .

Для данного отношения ρ это условие не выполняется, т.к.,

например, (1, 4) Î ρ и (4, 1) Î ρ, но 1 ¹ 4.

4. Отношение ρ, заданное на множестве М, называется транзитивным, если для всяких элементов а, b, с из этого множества выполняется условие:

[(a, b) Î r Ù (b, с) Î r] (a, с) Î r .

20