контольная по математике

Для данного отношения ρ это условие выполняется. Для обоснования этого вывода переберём все пары элементов, для которых [(a, b) ρ (b, с) ρ]. Это следующие пары:

1) (1, 1) и (1, 1);	4) (1, 1) и (1, 4);	7) (1, 4) и (4, 3);
2) (1, 1) и (1, 2);	5) (1, 4) и (4, 1);	8) (1, 4) и (4, 4);
3) (1, 1) и (1, 3);	6) (1, 4) и (4, 2);	9) (4, 4) и (4, 4).

Для каждого случая составим пару из первого компонента первой пары и второго компонента второй пары. Получим следующие пары:

1) (1, 1) ρ;	4) (1, 4) ρ;	7) (1, 3) ρ;
2) (1, 2) ρ;	5) (1, 1) ρ;	8) (1, 4) ρ;
3) (1, 3) ρ;	6) (1, 2) ρ;	9) (4, 4) ρ.

Заметим, что все пары принадлежат отношению ρ, а значит, условие транзитивности выполняется.

О т в е т. Данное отношение ρ является транзитивным, не обладает свойствами рефлексивности, симметричности, антисимметричности.

Задача 3. На множестве Е рассмотрите операции: сложение, вычитание, умножение. Являются ли они бинарными на Е. Ответ обоснуйте.

Е = {3n n N}.

Р е ш е н и е:

Операция умножение является бинарной на множестве Е, если для всяких двух элементов a,b из этого множества результат операции a х b принадлежит множеству Е.

Пусть a, b – любые два элемента из данного множества Е. Тогда их можно представить в виде: a = 3n, b = 3k, где n, k N.

Рассмотрим операцию сложения:

a + b = 3n + 3k = 3(n + k).

Поскольку n, k N, то (n + k) N. Следовательно, сложение является бинарной операцией на данном множестве Е.

21

Рассмотрим операцию вычитания:

a – b = 3n – 3k = 3(n – k) ,

где n, k N. Заметим, что не для всяких натуральных n, k их разность является натуральным числом. Например, (3 – 7) N. Следовательно, вычитание не является бинарной операцией на данном множестве Е.

Рассмотрим операцию умножения:

a х b = 3n х 3k = 3(3nk) .

Поскольку n, k N, то произведение 3nk N. Следовательно, умножение является бинарной операцией на данном множестве Е.

О т в е т. Бинарными являются сложение и умножение, вычитание не является бинарной операцией на данном множестве Е.

Задача 4. Докажите, что в метрическом пространстве с метрикой ρ(М1, М2) пределом последовательности {Мn} является точка М0.

ρ(М , М ) =		(x	− x	2	)2	+ ( y				− y			2	)2			+ (z			1	− z				2	)2		,	где М (х , у , z ), M (х , у , z );
1	2	1					1																						1	1	1	1	2	2	2	2
							2							+ 1				,	2					+ 2			),
				М (					,			n										n							М (0, 1, 2).
					n			n							n								n						0

Р еш е н и е:

Пусть имеется последовательность точек метрического пространства Е:

М1, М2, … Мn, …

Обозначим её как {Мn}.

По определению эта последовательность сходится к точке М0 (имеет пределом точку М0), если для любого положительного числа ε существует такое натуральное n0 , что для всех натуральных п > n0 выполняется условие:

ρ(М0, Мn) ≤ ε.

22

Пусть ε – произвольное положительное число. Рассмотрим неравенство ρ(М0, Мn) ≤ ε. Выполним равносильные преобразования этого неравенства:

r(М0, Мn) £ e Û (0 −

2

)2 + (1 −

n

+ 1

)2 + (2 −

2

n

+ 2

)2 £ e Û

n

n

n

Û

4

+

1

+

4

£ e Û

3

£ e Û n ³

9

.

n n n

n

ε 2

Получили соотношение, которое связывает n с ε. Поскольку известно, что больше любого числа всегда имеется натуральное

число n0 , т.е. n0 ³ ε92 , тогда для всех п > n0 будет выполняться неравенство n ³ ε92 , т.е. ρ(М0, Мn) ≤ ε.

Следовательно, в соответствии с определением предела, точка М0 является пределом данной последовательности точек.

Задача 5. Вычислить производные функций f(x) и g(x):

	e2 x
a) f(x) =		;	б) g(x) = 4х-0,5 – (5 х+2)3.
	ln(3x + 1)

Р е ш е н и е:

а) Находим f '(x) по правилу дифференцирования дроби:

u ′

u′v − v′u

=

.

v 2

v

Получаем: f '(x) =

(e2 x )′ × ln(3x +1) − (ln(3x +1))′ × e2 x

. По табли-

ln 2 (3x +1)

цам производных определяем:

2 x

2 x

2х

1

3

(e

)′ = e

× (2x)′ =2е

, (ln(3x +1))′ =

× (3x +1)′ =

.

3x +1

3x + 1

Подставляя полученные выражения в f '(x) и выполняя преобразования, получаем:

f '(x) = 2(3x +1) × e2 x × ln(3x +1) − 3e2 x . (3x +1) × ln 2 (3x +1)

23

б)

(g(x))' = (4х-0,5

– (5 х+2)3)' = (4х-0,5)' – ((5 х + 2)3)' =

4 (-0,5)х-0,5 – 1

– 3(5 х + 2)3 – 1 х

(5х + 2)' = -2х-1,5

– 15 (5 х + 2)2 .

О т в е т.

а)

2(3x +1) × e2 x × ln(3x +1) − 3e2 x

;

б) -2х-1,5 – 15(5 х + 2)2 .

(3x +1) × ln 2 (3x +1)

Задача 6. Найти неопределённые интегралы:

а) ∫ (2 cos x − 3e x )dx ;

б) ∫

arcsin 5x

dx .

1

− 25x

2

Р е ш е н и е:

а)

∫ (2 cos x − 3e x )dx = ∫ 2 cos xdx –

∫3e x dx =

= 2 ∫ cos xdx –

3 ∫ e x dx = 2sinx – 3 ex + C;

б) интегрируем заменой переменной:

t = arcsin 5x

dt

= (arcsin 5x)′dx

=

1

∫

arcsin 5x

× ∫ t dt =

dx

=

5

= =

1 −

2

25x

=

dx

5

1 −

2

25x

1

1

3

2

× ∫t

12

×

t 2

=

dt

=

+ С =

arcsin 3 5x

+ С .

15

5

5

3

2

О т в е т.

а) 2sinx – 3 ex + C, б)

2

где С –

любое число.

arcsin 3 5x

+ С,

15

Задача 7. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули n карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях окажется ровно k тузов (n = 12; k = 1)?

Р е ш е н и е:

Каждый выбор карт есть выбор неупорядоченного 12-эле- ментного множества из 52 карт. Следовательно, число способов вынуть 12 карт из колоды равен числу сочетаний из 52 по 12:

24

C5212 =		52!	=	40! × 41× 42 × 43× 44	× 45 × 46 × 47 × 48 × 49 × 50 × 51× 52	=
	12! × 40!				× 5 × 6 × 7 × 8 × 9 ×10 × 40!
			1× 2 × 3× 4
			= 108 968 326 927 360.

Чтобы найти, в скольких случаях будет k тузов, необходимо учесть, что всего в колоде 4 туза. Следовательно, k тузов будет выбираться из 4 карт, а остальные (n – k ) карт будут выбираться из 48 карт. По комбинаторному правилу произведения число случаев, в которых из n вынутых карт окажется k тузов, равно C4k × C48n−k . Подставляем значения вместо n и k в полученное выражение:

C41 × C4811 =		4!	×		48!	=
				11!× 37!
1!		× 3!

= 4

× 38 × 39 × 40 × 41× 42 × 43× 44 × 45 × 46 × 47 × 48 =

1× 2 × 3× 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 ×10 ×11 = 90 380 801 472.

О т в е т.

Из колоды 12 карт можно вынуть 108 968 326 927 360 способами, в 90 380 801 472 случаях будет 1 туз.

Задача 8. Сколько чисел во множестве чисел от 1 до N

не делится на k, m, p (N = 100, k = 2, m = 3, p = 5)?

У к а з а н и я:

а) число чисел во множестве N = {1, 2, 3, … N}, делящихся

на t, равно целой части числа N ;

t

б) для решения задачи воспользуйтесь формулой включения и исключения.

Р е ш е н и е:

Обозначим число чисел, делящихся на t, через n(t), т.е.

n (t) = [ N ]. Если два натуральных числа t и s взаимно просты (не

t

имеют общих делителей, отличных от единицы), то число чисел, которые делятся на t и s, равно числу чисел, которые делятся на их произведение.

25

Пусть х – число чисел, которые не делятся на k, m, p. Тогда число чисел, которые делятся на k или на m, или на p, равно N – х. По формуле включения и исключения получаем:

N – х = n(k) + n(m) + n(t) – (n(k, m) + n(k, p) + n(m, p )) + n(k, m, p) .

Вычисляем:

n(k) = n(2) = [ 100 ] = 50,

2

n(m) = n(3) = [ 100 ] = 33,

3

n(p) = n(5) = [ 100 ] = 20.

5

Учитывая, что данные числа k, m, p попарно взаимно просты, получаем:

n(k, m) = n(km) = n (2 х 3) = n(6) = [ 100 ] = 16,

6

n(k, p) = n(kp) = n(10) = 10, n(m, p) = n(mp) = n(15) = 6, n(k, m, p)= n(kmp) = n(30) = 3.

Следовательно: 100 – х = 50 + 33 + 20 – (16 + 10 + 6) + 3.

Отсюда х = 26.

О т в е т. 26 чисел от 1 до 100 не делятся на 2, 3, 5.

Задача 9. На базе находятся лампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, а 30% – вторым. Известно, что из каждых 100 ламп, произведённых первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 ламп, произведённых вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80.

Какова вероятность того, что:

а) лампа, взятая наудачу, удовлетворяет стандарту; б) взятая наудачу лампа, оказавшаяся стандартной, изго-

товлена первым заводом.

26

Р е ш е н и е:

Пусть А – событие, состоящее в том, что взятая наудачу лампа оказалась стандартной. Возможны следующие предположения (гипотезы):

Н1 – взятая лампа изготовлена первым заводом; Н2 – взятая лампа изготовлена вторым заводом.

Вероятность первой гипотезы (Р(Н1)) равна 0,7, а второй (Р(Н2)) равна 0,3. Событие А может произойти с каждой из гипотез Н1 и Н2. Условные вероятности события А относительно каждой из гипотез Н1 и Н2 (взять стандартную лампочку при условии изготовления её на первом и втором заводе соответственно) равны:

Р(А½Н1) = 0,9 ,

Р(А½Н2) = 0,8 ;

а) событие А, вероятность которого требуется отыскать, может произойти с событием Н1 или с событием Н2. Других возможностей для осуществления события А нет. По формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = Р(Н1) Р(А½Н1) + Р(Н2) Р(А½Н2) =

= 0,7 х 0,9 + 0,3 х 0,8 = 0,87;

б) оказавшаяся стандартная лампа могла быть изготовлена первым или вторым заводом. Вероятность того, что взятая стандартная лампа изготовлена первым заводом, по формуле Байеса равна:

Р(Н1½А) =	P(H1 )P( A		H1 )	0,7 × 0,9			63		21	» 0,724 .
				=		=		=
	P( A)						87		29
				0,87

О т в е т. а) 0,87, б) » 0,724.

Задача 10. В результате обследования бюджета 150 семей города были получены следующие данные (см. табл.).

З а д а н и е:

а) найдите вероятность того, что средний доход на члена семьи в городе отклоняется от среднего дохода, полученного в выборке, не более, чем на 400 руб. (по абсолютной величине), ес-

27

ли число семей в городе достаточно велико по сравнению с объёмом выборки;

б) используя χ2-критерий Пирсона на уровне значимости α = 0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – доход на одного члена семьи в месяц – распределена по нормальному закону; построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Доход на одного члена	6–7	7–8	8–9	9–10		10–11		11–12
семьи в месяц, тыс. руб.
Число семей	20	38	39	36		9		8

Р е ш е н и е:

а) найдём выборочную среднюю и выборочную дисперсию данной выборки. Результаты вычислений приведём в таблице:

Доход на одного члена		Середина								Число						xini	xi2	xi2ni
семьи в месяц, тыс. руб.		интервала, хi								семей, ni
6–7		6,5								20						130	42,25	845
7–8		7,5								38						285	56,25	2 137,5
8–9		8,5								39						331,5	72,25	2 817,75
9–10		9,5								36						342	90,25	3249
10–11		10,5									9					94,5	110,25	992,25
11–12		11,5									8					92	132,25	1 058
Всего			–							150						1 275	–	11 099,5
							=		∑ xi ni		=		1 275			= 8,5.
Выборочная средняя x
									∑ ni
													150
Выборочная дисперсия:
σв2 =	∑ xi2 ni		–		2		=	11 099,5				– (8,5) 2 ≈ 1,75 .
				x
	∑ni								150

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

σв = 1,75 ≈ 1,32 .

28

Формула для средней квадратической ошибки бесповторной выборки:

/			σ B2			n
σ		»		× 1	−		.
	x		n
						N

По условию задачи значение N достаточно велико по срав-

нению с объёмом выборки, поэтому отношение n можно принять

N

равным нулю. Тогда:

σ

/

» σ B2

=

σ

B

=

1,32

≈ 0,11 .

x

n

n

150

Чтобы найти вероятность того, что средний доход на члена семьи в городе отклоняется от среднего дохода, полученного в выборке, не более, чем на 0,4 тыс. руб. (по абсолютной величине), воспользуемся формулой:

Р(½а– x ½<d) » 2Ф( σδx/ ) .

Учитываем, что по условию: d = 0,4, σ x/ = 0,11. Находим по

таблицам значений функции Лапласа: Ф( 0,4 ) = Ф(3,64) » 0,49982.

0,11

Следовательно, искомая вероятность равна:

Р(½а – 8,5½< 0,4) » 2 х 0,49982 = 0,99964 ;

б) так как n = 150, т.е. больше 30, то для ответа на второй вопрос задачи вместо исправленной дисперсии можно взять выборочную. Для расчёта вероятностей (теоретических частот) попадания случайной величины Х в интервал (ti, ti+1) используем функцию Лапласа Ф(х):

	pi = P(ti £ X £ ti+1) = Ф(	ti+1 − a	) –	Ф(	ti − a	) .
		σ			σ

29

Для данной задачи: а = 8,5, σ = 1,32. Проводим вычисления:

	р1= Р(6 ≤ Х ≤ 7) = Ф(			7 − 8,5	) –	Ф(		6 − 8,5	) =
				1,32
						1,32
	= Ф(-1,14) –		Ф(-1,89) = -Ф(1,14) + Ф(1,89) =
		= -0,3729 + 0,4706 = 0,0977.
	Аналогично получаем:
р2 = 0,2249,		р3 = 0,2960, р4 = 0,2249, р5 = 0,0977,								р6 = 0,0256.
	Для определения статистики χ2 составим таблицу:
		Эмпири-	Вероят-	Теорети-								(ni − npi )2
	Интервал			ческая			2
№	(ti, ti+1)	ческая	ности				(ni – npi)
				частота								npi
		частота	pi
				npi
1	6–7	20	0,0977	15			25				1,67
2	7–8	38	0,2249	34			16				0,47
3	8–9	39	0,2960	44			25				0,57
4	9–10	36	0,2249	34			4				0,12
5	10–11	9	0,0977	15			36				2,4
6	11–12	8	0,0256	4			16				4
	Всего	150		146							9,23

Итак, опытное значение статистики χ2 = 9,23. Число интервалов m = 6; по выборке определяли два параметра (а и σ), следовательно, s = 2. Тогда число степеней свободы

k = m – s – 1 = 6 – 2 – 1 = 3.

По таблицам критических значений статистики χ2 находим χ2кр для уровня значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 3: χ2кр = 7,8. Так как полученное значение χ2 больше χ2кр, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном распределении с параметрами а = 8,5 и σ2 = 1,75 не согласуется с опытными данными.

30