Контрольные вопросы

7.1. Приведите основные параметры кода Хемминга.

7.2. В чем состоят преимущества циклических кодов?

7.3. Можно ли использовать коды Хемминга и циклические коды для исправления однократных ошибок? Какими будут параметры этих кодов?

Задания

7.1. Задана порождающая матрица кода (7, 4):

.

Определите разрешенную кодовую комбинацию этого кода b, если задана комбинация простого кода на входе кодера a = (1110).

7.2. Какой вид имеет проверочная матрица кода с порождающей матрицей из задания 7.1?

7.3. Задана проверочная матрица кода (7, 4)

.

Приведите функциональную схему декодера этого кода.

7.4. Рассмотрите пример формирования разрешенной кодовой комбинации, если комбинация простого кода a = (10010).

7.5. По аналогии с примером из разд. 7.1 составьте таблицу параметров кодов Хемминга для значений r = 2, 3, 4. Поскольку эти коды имеют одинаковое минимальное расстояние, сравните их по степени пригодности для реализации в практических системах. Сформулируйте рекомендацию и обоснование применения лучшего (по вашему мнению) кода из этого перечня.

7.6. Для кода Хемминга, рекомендованного в предыдущем разделе, сформируйте порождающую и проверочную матрицы.

7.7. По правилам, изложенным в упражнении 4.1, определите значение минимального расстояния по порождающей матрице кода Хемминга из задания 7.5.

8. Помехоустойчивость декодирования блоковых кодов

8.1. Помехоустойчивость декодирования блоковых кодов [1, разд. 10.7; 7, разд. 19.6].

8.2. Энергетический выигрыш кодирования.

8.1. Помехоустойчивость декодирования блоковых кодов

Определим вероятность ошибки при декодировании блоковых кодов в двоичном симметричном канале. Рассмотрим кодирование блоковым кодом (n, k) с кодовым расстоянием d_min. В таком канале ошибки в последовательно передаваемых кодовых символах (сигналах) происходят независимо с вероятностью р (дискретный канал без памяти). Тогда вероятность того, что на длине блока n произойдет q ошибок, будет равна

Здесь – число сочетаний из n элементов по q. Если код исправляет все ошибки кратности q_исп = (d_min – 1)/2 (d_min – нечетное) и менее, то вероятность получения на выходе декодера блока с неисправленными ошибками определяется:

.

Следовательно, вероятность ошибочного декодирования определяется:

. (8.1)

В этом выражении равенство имеет место, если используется совершенный код. Соотношения между параметрами n, k и q_исп определяются конкретным выбранным кодом. Выражение (8.1) позволяет определить верхнюю оценку вероятности ошибки декодирования блока при использовании блоковых кодов в двоичном симметричном канале без памяти. Для расчета вероятности ошибки в каждом информационном (либо дополнительном) символе необходимо знать используемый алгоритм декодирования и структуру корректирующего кода, в частности, набор расстояний от передаваемой кодовой комбинации до всех разрешенных комбинаций. Такие данные в таблицах блоковых кодов не публикуются и для расчетов вероятности ошибочного декодирования кодовых символов (информационных либо дополнительных) используют приближенную формулу [11]:

. (8.2)

Для каналов с когерентным приемом сигналов двоичной фазовой модуляции (ФМ-2) вероятность ошибки сигнала определяется формулой:

, (8.3)

где – отношение энергии двоичного сигнала E_s к спектральной плотности мощности шума N₀ на входе демодулятора;

Q(z)= – гауссовская Q-функция (интеграл вероятности), таблицы значений которой содержат справочники по теории вероятностей и статистическим расчетам. Для практических расчетов удобно пользоваться достаточно точной аппроксимацией:

Q(z) = 0,65 exp[–0,44(z + 0,75)²]. (8.4)

Введение избыточности при использовании корректирующего кодирования приводит к расширению полосы частот, занимаемой сигналом. Так, если полоса частот в системе без кодирования составляла F_s (Гц), то применение кода со скоростью требует расширения полосы частот до величины:

, (8.5)

т.е. происходит расширение полосы частот в раз. Для кодов с низкой скоростью () такое расширение может оказаться ощутимым. Поэтому задача выбора кода при проектировании телекоммуникационной системы состоит в поиске компромисса между желаемой степенью повышения помехоустойчивости и неизбежным расширением полосы частот кодированного сигнала.

Анализ результатов расчетов вероятности ошибки декодирования по формулам (8.2) и (8.3) с учетом расширения полосы частот кодированного сигнала в соответствии с формулой (8.4) позволяют сделать следующие выводы об эффективности применения помехоустойчивого кодирования:

1. С ростом длины кодовой комбинации n вероятность ошибки декодирования p_д понижается.

2. Коды с большой избыточностью (малой скоростью кода R_код) обеспечивают значительное понижение вероятности ошибки декодирования.

3. При использовании корректирующих кодов в телекоммуникационных системах платой за повышение помехоустойчивости является расширение полосы частот передаваемого сигнала, обусловленное избыточностью, вводимой при кодировании, в

раз. (8.6)