Контрольные вопросы

2.1. Чем объясняется широкое применение двоичных кодов в телекоммуникационных системах?

2.2. Дайте определение систематического блокового кода.

2.3. Возможно ли размещение дополнительных символов перед блоком информационных символов систематического кода? Изменит ли это избыточность кода?

Задания

2.1. По аналогии с упражнением 2.1 рассмотрите возможности построения кода с постоянным весом и значностью разрешенных кодовых комбинаций n, при этом дайте ответы на такие вопросы:

а) Пусть количество единиц в разрешенной комбинации обозначается как n₁, а количество нулей в разрешенной комбинации обозначается как n₀, т.е.n₁ + n₀ = n. Если задан объем алфавита сообщений источника M_A, то как выбрать значения n₁ и n₀, чтобы удовлетворить условиям постоянства веса w = n₁/n₀?

б) Какие конфигурации ошибок можно обнаруживать, применяя такое кодирование, и какие конфигурации не обнаруживаются?

в) Определите набор параметров кода (n, n₁, n₀), которые удобны для построения кода с постоянным весом, предназначенного для передачи букв русского текста.

г) Можно ли считать код с постоянным весом систематическим?

3. Способность блоковых кодов обнаруживать и исправлять ошибки

Установим зависимость обнаруживающей и исправляющей способности блоковых кодов от параметров кода. С этой целью полезно рассмотреть двоичный код с параметрами n = 3, k = 2. Все возможные комбинации этого кода (M = 8) можно разделить по признаку «четность числа единиц в кодовой комбинации» на две группы:

а) комбинации с четным числом единиц;

б) комбинации с нечетным числом единиц.

Код, построенный по этому принципу, называемый «кодом с четным числом единиц», рассмотрен выше в упражнении 2.1.

Пример 3.1. Двоичный трехзначный код с четным числом единиц.

В табл. 3.1 указан набор всех возможных двоичных трехзначных кодовых комбинаций (M = 8), который разделен на набор разрешенных кодовых комбинаций (M_разр = 4), содержащий комбинации с четным числом единиц (включая комбинацию 000 (число 0 – четное)), и на набор запрещенных кодовых комбинаций с нечетным числом единиц. Их общее количество равно разности M_запр = M – M_разр = 4.

разрешенные кодовые комбинации используются для передачи информации по каналу (разрешены для передачи).

запрещенные кодовые комбинации для передачи информации по каналу не используются (запрещены для передачи).

Таблица 3.1 – Код с четным числом единиц

Полный набор кодовых комбинаций кода (M = 8): {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}
Разрешенные комбинации (с четным числом единиц): Mразр = 4 {000, 011, 101, 110}	Запрещенные комбинации (с нечетным числом единиц): Mзапр =M–Mразр = 4 {001, 010, 100, 111}
Параметры кода: скорость кодаRкод = 1/2; кодовое расстояниеdmin = 2; кратность обнаруживаемыхошибокqобн = 1

В теории кодирования важную роль играет понятие расстояния между кодовыми комбинациями. Каждый двоичный блоковый корректирующий код характеризуются параметром кодовое расстояние.

Кодовое расстояние d_min – это наименьшее расстояние Хемминга^ между разрешенными кодовыми комбинациями.

Величина кодового расстояния d_min является одним из важнейших параметров блоковых кодов. Перебирая пары разрешенных кодовых комбинаций кода из табл. 3.1 можно установить, что у этого кода кодовое расстояние равно d_min = 2. такое расстояние позволяет обнаруживать в процессе декодирования однократные ошибки. Если передаваемая кодовая комбинация есть b = 1 1 0, а ошибки, возникающие в канале связи, характеризуются комбинацией (вектором ошибки) e = 1 0 1, то комбинация с ошибкой на выходе канала определяется на основе посимвольного сложения по модулю 2:

= ae = 0 1 1.

Из этой записи видно, что символ 1 в записи вектора ошибки e изменяет соответствующий символ передаваемой комбинации на противоположный символ. Для описания количества ошибок, вносимых каналом, вводят понятие кратности ошибки.

Кратность ошибки q – количество ошибок, вносимых каналом в пределах кодовой комбинации блокового кода.

для рассматриваемого в примере 3.1 трехзначного кода комбинации однократных ошибок, отображающие ошибочную передачу первого, второго и третьего символов кодовой комбинации, имеют вид:

e =100, 010, 001,

а комбинации двухкратных ошибок, отображающие одновременную ошибочную передачу двух символов в различных сочетаниях в пределах кодовой комбинации, имеют вид: 110, 011, 101.

Корректирующая способность кода (способность обнаруживать или обнаруживать и исправлять ошибки) зависит от соотношения кодового расстояния d_min и кратности ошибки q.

Обнаружение ошибки – фиксация в процессе декодирования факта наличия ошибки определенной кратности в кодовой комбинации на входе декодера .

Исправление ошибок – обнаружение в процессе декодирования ошибок в определенных символах кодовой комбинации на входе декодера и последующее их исправление.

В соответствии с этими определениями корректирующие коды подразделяются на следующие классы:

1. Коды, обнаруживающие ошибки, используемые в системах передачи цифровой информации, в которых для исправления ошибок предусмотрены иные (некодовые) методы (например, телекоммуникационные системы с обнаружением ошибок, последующим автозапросом и повторной передачей информации, в которой были обнаружены ошибки).

2. Коды, исправляющие ошибки, называемые в литературе кодами с прямым исправлением ошибок (т.е. с исправлением ошибок кодовыми методами).

Взаимосвязь между величиной кодового расстояния и корректирующей способностью кода установим на примере кода с четным числом единиц (см. табл. 3.1). Для пояснений удобно использовать геометрическое представление кодовых комбинаций кода, изображенное на рис. 3.1. Если кодовую комбинацию трехзначного кода представлять набором из трех символов (x, y, z), и значения этих символов выбирать из двоичного алфавита {0,1}, то все возможные кодовые комбинации можно представить точками в декартовой системе координат (x, y, z). При этом комбинации будут образовывать вершины трехмерного куба. На рис. 3.1 эти вершины помечены следующим образом:

– знаком _ – «точка» отмечены разрешенные кодовые комбинации;

– знаком _ – «крестик» отмечены запрещенные кодовые комбинации.

Видно, что структура кода такова, что между разрешенными комбинациями располагаются запрещенные, образуя своеобразный «защитный промежуток», причем, действие любой однократной ошибки переводит любую из разрешенных комбинаций в соседние запрещенные.

Это свойство подсказывает правило декодирования кода с четным числом единиц с обнаружением любых однократных ошибок:

получение декодером запрещенной кодовой комбинации позволяет утверждать, что комбинация содержит одну или несколько ошибок.

Нетрудно убедиться в том, что этот код не позволяет обнаруживать ошибки кратности 2 (недостаточен «защитный промежуток»). По индукции можно доказать, что любой двоичный код с четным числом единиц позволяет обнаруживать любые ошибки нечетной кратности, и не позволяет обнаруживать любые ошибки четной кратности.

Концепция «защитного промежутка» легко применима для установления связи между кодовым расстоянием и способностью кода исправлять ошибки.

Если минимальное расстояние между разрешенными комбинациями (кодовое расстояние) есть d_min, то, как показано на рис.3.2, защитный промежуток содержит (d_min – 1) запрещенных комбинаций и для «перевода» каждой разрешенной комбинации в ближайшую разрешенную комбинацию необходимо совершить (d_min – 1) «шагов».

Ясно, что все ошибки кратности [1, 2, 3,…,(d_min – 1)] могут быть обнаружены, откуда следует, что:

Если кодовое расстояние двоичного кодаd_min, то кратность обнаруживаемых ошибок определяется так:

Воспользуемся подобным представлением для установления способности кода исправлять ошибки. На рис. 3.3 показано расположение разрешенных кодовых комбинаций b_разр.1 и b_разр.2 между которыми расположены (d_min – 1) запрещенных комбинаций. Разобьем все множество комбинаций на две зоны, как показано на рис. 3.3.

Если, например, принимаемая комбинация расположена в «зоне декодирования комбинации b_разр.1», то при декодировании выносится решение о передаче комбинации b_разр.1, т.е. тем самым исправляются ошибки, обуславливающие переход b_разр.1 в ближайшие запрещенные комбинации.

Если, например, принимаемая комбинация расположена в «зоне декодирования комбинации b_разр.1», то при декодировании выносится решение о передаче комбинации b_разр.1, т.е. тем самым исправляются ошибки, обуславливающие переход b_разр.1 в ближайшие запрещенные комбинации. Аналогично можно пояснить процесс исправления ошибок при передаче комбинации b_разр.2. Видно, что протяженность каждой зоны есть (d_min – 1) / 2, где d_min – нечетное, что и определяет исправляющую способность кода.

Для четных значений d_min протяженность каждой зоны есть [(d_min / 2) – 1], что также определяет исправляющую способность кода.

Таким образом:

Если кодовое расстояние двоичного корректирующего кода d_min, то кратность исправляемых ошибок определяется выражениями:

(d_min – нечетное);

(d_min – четное).