5.2. Синдромное декодирование блоковых кодов

Принцип синдромного декодирования рассмотрим на примере несложного блокового кода.

Пример 5.3. Синдромный декодер систематического кода (7, 4).

В соответствии с правилом вычисления синдрома (5.8) для реализации синдромного декодера необходимо сформировать транспонированную проверочную матрицу кода (7, 4). Проверочная матрица этого кода имеет вид (5.5). Применяя к ней правило транспонирования матриц, получаем:

, . (5.9)

Если в канале связи действуют однократные ошибки, то векторы ошибок удобно записывать так:

e₁ = (1000000), e₂ = (0100000), e₃ = (0010000), …, e_n = (0000001). (5.10)

В такой записи вектор ошибки e_i представляет набор n символов, в котором на месте с номером i (счет слева) расположен символ ошибки 1, а на остальных местах расположены нулевые символы.

векторы ошибки могут быть представлены в виде единичной матрицы:

, (5.11)

каждая строка которой есть вектор однократной ошибки. Используя свойства единичных матриц, нетрудно показать, что матрица синдромов совпадает с транспонированной проверочной матрицей этого кода (5.9):

S = E·H^T = I_n·H^T = H^T. (5.12)

При синдромном декодировании блокового кода матрица синдромов S совпадает с транспонированной проверочной матрицей кода H^T.

Это является основанием для составления таблицы синдромов. Ниже приведена табл. 5.1 синдромов для кода (7,4), составленная по данным строк транспонированной проверочной матрицы (5.9). В таблице каждому вектору ошибки соответствует свой вектор синдрома, указывающий местоположение ошибочного символа в кодовой комбинации на входе декодера.

таблица 5.1 –Таблица синдромов для декодирования кода (7, 4)

Синдром	011	110	101	111	100	010	001
Вектор ошибки	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7

Это позволяет сформулировать алгоритм синдромного декодирования:

Алгоритм синдромного декодирования блоковых кодов состоит в следующем:

1. Формирование транспонированной проверочной матрицы кода H^T.

2. Составление таблицы синдромов для декодирования кода (n, k).

3. Вычисление синдромов (по типу табл. 5.1) по структуре транспонированной проверочной матрицы кода H^T и вектору символов декодируемой кодовой комбинации по правилу (5.12).

4. Формирование вектора ошибки e_i на основе таблицы синдромов.

5. Исправление ошибки в кодовой комбинации на входе декодера по правилу

b_i=e_i.

6. Отбрасывание дополнительных символов дает комбинацию .

Структура синдромного декодера кода (7, 4), реализующего этот алгоритм, приведена на рис. 5.2.

В соответствии с правилами формирования синдромов (5.12) на сумматоры по модулю 2 подаются принимаемые из канала символы, причем, связи с линиями канальных символов имеются там, где в строках транспонированной проверочной матрицы расположен символ 1. В схеме анализатора синдромов в соответствии с данными табл. 5.1 происходит преобразование векторов синдромов S = (s₀, s₁, ..., s_n–k–1) в соответствующие им векторы ошибки e, которые затем подаются на сумматоры корректора ошибок. В результате сложения вектора принятых из канала символов с соответствующими им векторами ошибки e происходит исправление канальных ошибок.