10. Измерения параметров сигналов в цепях с несинусоидальной периодической формой кривой

Общие сведения

Сигнал, функционально связанный с измеряемой физической величиной и несущий информацию о ее значении, называют сигналом измерительной информации.

Сигналы, мгновенные значения которых для любого момента времени могут быть найдены по описываемым эти сигналы математическим соотношениям называют детерминированными.

Детерминированные периодические сигналы, изменяющиеся во времени непрерывно, делятся на синусоидальные ( гармонические) и несинусоидальные (полигармонические) ( рис. 10.1.б)

а) б)

Рис 10.1 Детерминированные периодические сигналы

Сигнал синусоидальной формы (рис.10.1 а) описывается функцией времени

at)=A_m sin (2+) = A _max sin (t+),

Сигнал несинусоидальной формы (рис.10.1 б) можно представить в виде суммы временных функций. описывающих а (t) на отдельных интервалах периода Т. Например, для величины а (t) на рис. 10.1,б

(3A_max / T) t при 0 t  T/3

a(t)= A_max при T/3 t  2T/3

3A_max – (3A_max /T) t при T/3 t T/3

Примечание: Для нахождения функции можно использовать уравнение прямой, проходящий через две заданные точки С₁ ( t₁;A₁) и С₂ (t₁;A₂)

a - A₁ t - t₁

-------- = -------

A₂ –A₁ t₂ – t₁

Сигнал несинусоидальной формы можно также представить рядом Фурье

_n

a (t)=A₀ +  A_{max+ k} sin (kt+_k)

^k=1

В формулах (10.1 и 10.2)

A_m и A_max*k - амплитуда синусоиды и ее k-ой гармоники;

,ω - частота и угловая частота (=2)

_k - начальный угол k -ой гармонии

A₀ - среднее значение (постоянная или нулевая составляющая) сигнала за период Т= 1/

Для оценки параметров сигнала используют значения:

среднее ;

_T

средневыпрямленное A_св = 1/T  a(t)·dt;

⁰

среднеквадратическое ;

(или действующее)

Для оценки связи между указанными значениями кривой используют:

коэффициент амплитуды K_A = A_max / A

коэффициент формы K_Ф = A/A_св

(для синусоидального сигнала К_A = 1,41, К_Ф = 1.11), а несинусоидальность кривой оценивают:

коэффициентом гармоники

или

коэффициентом нелинейных искажений

_________________ ______________________

K_ни =  A²₂ + A ²₃ +…+ A²_N /  A²₁ + A ²₂ + A ²₃+…+ A²_N

При расчете всех перечисленных коэффициентов рассматривают соответствующие значения параметров только переменной составляющей величины

_N

a(t)= A₀ +a_i(t)

ⁱ⁼¹

В практической деятельности специалиста любого профиля возникает необходимость измерения значений всех перечисленных раннее параметров периодических сигналов. При измерении напряжения и тока используют приборы ( вольтметры и амперметры) магнитоэлектрической (М), электромагнитной (Э), выпрямительной (Ц), термоэлектрической (Т) систем, а также электронные вольтметры (В2 – постоянного тока, ВЗ – переменного тока, В4 - пиковых значений) и цифровые приборы (Щ, Ф).

Ниже показаны диаграммы применения приборов различных систем для измерения значений:

• среднего (постоянной составляющей) – М; В2, Щ, Ф

• средневыпрямленного (СВЗ)

0,045 20 200

| | * | ,KHz

Ц B3_CB3

• среднеквадратического (действующего) (СКЗ)

0,02 0,5 2,0 10⁵ 10⁶ 10⁷

|| | | | |  ,KHz

Э Д С В3_СК3 Т

• амплитудного (АЗ)

0,045

|| | , KHz

B3_A3 B4

Применение приборов выпрямительной системы (Ц) и электронных вольтметров переменного тока (ВЗ), а также импульсных вольтметров (В4) требуют внимательного отношения к полученным результатам, т.к. преобразователи этих приборов могут выполняться с открытым или закрытым входом; указатель прибора может колебаться (т.е. реагировать на) пропорционально средневыпрямленному, или среднеквадратическому, или амплитудному (пиковому) значениям; при этом шкала прибора может градуироваться в значении параметра, на который он градуируется или в среднеквадратических значениях величины с синусоидальной формой кривой (СКЗ. НСФ) [1с.152…164].

Так, вольтметры с открытым входом реагируют на значение одного из параметров напряжения U ( t ), поданного на его зажимы, в то время когда вольтметры с закрытым входом реагируют на соответствующий параметр только переменной составляющей этого напряжения, т.е. U ( t ) = U ( t ) - U_cp

Для уяснения влияния особенностей градуировки приборов на их показания, рассмотрим этот процесс на примере градуировки вольтметров V1 - V7, характеристики которых приведены в табл. 10.1

Таблица 10.1

Характеристики вольтметров

Номер вольтметра	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
Вход вольтметра	закр	закр	откр	закр	откр	закр	откр
Параметр, на который реагирует вольтметр	A3	A3	A3	CB3	CB3	CK3	CK3
Значения, в которых градуируется шкала	A3	CK3 НСФ	А3	СК3 НСФ	СК3 НСФ	СК3 НСФ	СК3 НСФ

Подключим вольтметры к стабилизированному источнику напряжения синусоидальной формы (НСФ) U( t ) = U_m sin t ( рис. 10.2)

Установим на выходе источника напряжение амплитудой U_m =141V.Тогда, учитывая что для синусоиды коэффициенты амплитуды K_A = 2, формы К_ф = 1.11 определены значения

• средневыпрямленное

U_св = U_m /K_A*K_Ф = (141/1,41*1,11)V = 90V

• среднеквадратическое

U = U_m /√2 = (141/1,41)V = 100V

т.к. кривая напряжения U_m sin t симметрична относительно оси времени, то среднее значение напряжения равно нулю U_ср = 0

Значения параметров, отклоняющих указатели приборов показаны под линиями шкалы, а показания приборов должны соответствовать значениям, указанным над линиями шкалы.

Анализ этих значений позволяет сделать выводы:

1. При измерении параметров напряжения, не содержащего постоянной составляющей, вид входа преобразователя (открытый, закрытый) не влияет на значения параметра, отклоняющего указатель вольтметра;

2. если вольтметр проградуирован в значениях параметра, на который он реагирует, то его показания равны значению этого параметра;

3. если вольтметр проградуирован в СКЗ НСФ, то его показания соотносятся со значением параметра, на который он реагирует, через коэффициент градуировки;

- для вольтметров амплитудных значений U_V.A3 = 0,707U_m

- для вольтметров средневыпрямленных значений U_V.CB3 = 1,11U_CB

- для вольтметров среднеквадратических значений U_V.CK3 = 1,0U

4) при выполнении измерений в несинусоидальных цепях, кривая напряжения которого характеризуется коэффициентами амплитуды К_A и формы К_Ф, вольтметром с открытым входом можно по его показаниям рассчитать значения всех параметров этого напряжения. Для этого необходимо:

- найти, учитывая коэффициент градуировки, значение параметра, на который он реагирует;

- значения остальных параметров найти, используя известные коэффициенты формы и амплитуды этого напряжения по выражениям

U_max = K_AU; U=K_ФU_CB; U_max = K_A K_Ф U_CB;

5. при выполнении измерений в несинусоидальных цепях вольтметрами с закрытым входом необходимо учитывать, что значения, на которые реагирует прибор, относятся только к переменной составляющей U_~ (t).

Расчет всех параметров можно выполнить, зная форму кривой напряжения

U(t) = U_CP + U_N(t) (7,c.86..105; 8,c.90-96)

Для иллюстрации влияния особенностей построения и градуировки приборовV1-V7 на их показания в табл. 10.2. приведены значения этих показаний для двух форм несинусоидального напряжения

Таблица 10.2

№вольтметра u(t)	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
KA =1,73; KФ =1,16	141	100	141	78	78	82	82
KA =1,73; KФ =1,16	70,5	50	141	39	78	41	82

Последовательность решения задачи

- По известным из условия задачи форме кривой напряжение u ( t ) и ее максимальному значению U_max составить аналитические зависимости напряжения от времени в пределах периода Т

- Найти среднеквадратическое, средневыпрямленное и среднее значение, а также амплитуду переменной составляющей напряжения.

- Определить коэффициенты амплитуды К_A и формы К_ф [9,табл 6.2]

- Выбрать вольтметры для измерения амплитудного, среднеквадратического, средневыпрямленного значений W, а также учитывая вид входа преобразователя и коэффициент градуировки определить их показания.

- Установить [10 табл.4.2] характеристики вольтметра, показания которого известны из условия задачи, W определить значение величины, на которую он реагирует.

- Используя коэффициенты К_A и К_ф найти значения остальных параметров заданного напряжения.

Примеры решения задач

Задача1. Для цепи с несинусоидальной формой напряжения форма и параметры которой указаны на рис.10.3. необходимо:

- рассчитать среднеквадратическое U, средневыпрямленное U_св, среднее значение U_ср и амплитуду переменной составляющей U _{max ~};

Исходные данные:

- форма кривой на рис.10.3

• амплитудное значение U_max = 50 V

• период напряжения Т = 1ms

Рис 10.3

Решение

1. Аналитическое выражение функции u ( t )

при 0  t  T / 2

u ( t ) =

0 при T / 2  t  T

2. Определим значение напряжения

Среднеквадратическое:

=

средневыпрямленное

среднее значение

U_c = U_max /4

Aмплитудное значение U_max ~ переменной составляющей равно

U_max ~ = U_max –U_c = U_max – U_max /4 = 3 / 4 * U_max

3. Определим коэффициенты

_ _{__} _ _{__}

aмплитуды K_A^´ = ( U_{max ~} / U = 3 * U_max * 6 ) / 4 * U_max = 36 / 4 = 1,84

_

формы K_ф´ = U / U_cв = U_max * 4 / 6 * U_max = 1,63

4. Определим значение напряжения и частоту

 = 1 / T = 1 / 1 * 10^-3 = 1000 Hz

__ __

U_max = 50V U = U_max / 6 = 50 / 6 = 20,4 V 

U_св = U_c = U_max / 4 = 50/4 = 12,5 V 

U_max~ = U_max - U_c = 50 –12,5 = 37,5 V .

Выберем приборы для измерения, используя табл.6.2 [9] и рекомендации раздела 12:

- амплитудного значения U_max = 50V в цепи частотой  = 1000 Hz

Вольтметр В4-14, частотный диапазон от 25 до 3·10⁵ Hz ; верхний предел измерения 100 V; класс точности 6.0

Т.к. прибор имеет открытый вход, реагирует на амплитудные значения и проградуирован в амплитудных значениях, то его показания

U_{V В4-14} = 50 V

- среднеквадратического значения U = 20,4 V в цепи частотой  = 1000 Hz

Вольтметр ВЗ-50, частотный диапазон от 45 до 5·10⁶ Hz , верхний предел измерения 30 V; класс точности 1.5

Т.к. прибор имеет закрытый вход, но реагирует и проградуирован в среднеквадратических значениях, то его показания

Примечание: Для измерения среднеквадратических значений напряжений несинусоидальной формы, содержащих постоянную составляющую, целесообразно использовать приборы электромагнитной, электродинамической, электростатистической или термоэлектрической систем. Выбор этих приборов выполняется в соответствии с рекомендациями раздела 12 этого пособия.

- средневыпрямленного значения U_CB = 12,5 V при  = 1000 Hz

Вольтметр ВЗ-44; частотный диапазон от 20 до 2·10⁴ Hz; верхний предел измерения 30V; класс точности 2.5

Т.к прибор имеет открытый вход, реагирует на средневыпрямленное значение, но проградуирован в СКЗ НСФ, то его показания равны

U_{V B3-44} = U_CB * 1,11 =12,5 * 1,11 = 13,9 V

-амплитудное значение переменной составляющей U_max~ = 37,5 V в цепи частотой  = 1000 Hz

Выберем вольтметр В4-12; частотный диапазон от 500 до 5·10⁶Hz, верхний предел измерения 100 V, класс точности 6.0

Т.к прибор имеет закрытый вход, реагирует и проградуирован в амплитудных значениях, то его показания

U_{V B4-12} = U_max – U_c =50 - 12,5 = 37,5 V

Примечание: Если выбрать прибор реагирующий на амплитудные значения с закрытым входом, но проградуированным в СКЗ НСФ, то его показания равны

U_V = (U_max – U_c) / 1,41 =37,5/14,1 = 26,6 V

Задача 2. Для измерения амплитудного U_m , среднеквадратического U и средневыпрямленного U_CB значений напряжения и ( t ) в электрической цепи использованы электронные вольтметры V₁,V₂,V₃ . По известной форме кривой напряжения и показаниям одного из вольтметрoв необходимо:

- рассчитать коэффициенты амплитуды К`_А и формы Кф¹ ;

- найти показания двух других вольтметров и значения U_m ,U_ξ ,U_CB.

Вольтметры

V₁  BK7-9 A3, закр, CK3 HCФ

V₂  B3-44 СB3, oткр, CK3 HCФ

V₃  B3-50 СК3, закр, CK3 HCФ

Рис 10.4

Показания вольтметра V₃ U_V3 = 10 V U⁺ _max = U ^-_max (установленно по рисунку 10.4)

Решение:

1. Аналитическое описание функции u ( t ) ₊

U_m при 0  t  T / 4

_-

u( t ) U_m при T / 4  t  T / 2

0 при T / 2  t  T

2. Определим значения напряжения

• среднеквадратическое

- cредневыпрямленное

_{T T/4 + T/2 - + T/4 - T/2}

U_CB =1/T u ( t ) dt =1/T  U_max*dt+ U_max dt = 1/T (U_max* t/ + U_max t / ) =

^{0 0 T/4 0 T/4}

_{+ - + _-}

= 1/T(U_max* t / 4 + U_max * T / 4 ) = U_max / 4 + U_max / 4 = U_max / 2

- cреднее

_{T T/4 + T/2 - + T/4 + T/2}

U_C =1/T u ( t ) dt =1/T  U_max*dt+ (U_max ) dt = 1/T (U_max* t/ - U_max t / ) = 0

^{0 0 T/4 0 T/4}

_{+ _- +}

Примечание: 1. При расчете U_c , учтено, что U_max = U_max ׀‌ = - U_max

2. Равенство U_c = 0 можно установить из анализа кривой u( t ) (рис.10.4), т.к. положительные и отрицательные площади, ограниченные кривой u( t ) относительно оси времени t , равны.

3. Определим коэффициенты амплитуды

_{+ +}

K_A = U_max / U = U_max* 2 / U_max = 2

формы

₊

K_Ф = U / U_СВ = U_max* 2 /2* U_max = 2

4. по табл.4.2 (10) выясним особенности используемых вольтметров V₁,V₂ ,V₃.

V₁ - реагирует на амплитудные значения; имеет закрытый вход; проградуирован в среднеквадратических значениях напряжение синусоидальной формы ( СКЗ НСФ);

V₂ -реагирует на средневыпрямленные значения; имеет открытый вход ; проградуирован в СКЗ НСФ;

V₃ -реагирует на среднеквадратические значения; имеет закрытый вход; проградуирован в СКЗ НСФ

4. по известному показанию вольтметра V₃ найдем значения напряжения u( t )

₂

U_V3 =U²-Uc² =U_max/2 – 0 * 1,0 = U_max / 2

U_max = 2 * U_V3 = 2 * 10 = 14,1 V

U = U_max / 2 = 10 / 1,41 V = 7,1 V

6. Определим показания вольтметров V₁ и V₂ , учитывая их особенности

U_V1 = (U_max – U_c / 2 = 14,1 / 1,41 =10 V

U_V2 = U_CB * 1,11 = 7,1*1,11 = 7,9 V