7. Обработка результатов косвенных измерений Общие положения

Косвенными называют измерения, в которых результат находят на основании известной зависимости (уравнения измерений) между измеряемой А и другими величинами (аргументами) а₁, а₂, … а_і,…а_М, значения которых получают любым видом измерений, например, прямыми.

Методы оценивания результатов косвенных измерений зависит от вида уравнения измерений (явный или неявный) и, в свою очередь, от линейной или нелинейной зависимости между измеряемой величиной и измеренными аргументами.

Уравнение измерений в явном виде может быть представлено как

А = F(а₁, а₂, … а_і,…а_М)

Линейная зависимость между А и а_і выражается формулой

А = b₁а₁ + b₂а₂ + … + b_iа_і+ … + b_Mа_М,

где b_i – постоянные коэффициенты.

В уравнениях измерений с нелинейной зависимостью между А и а_і используются нелинейные математические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, тригонометрические функции и др., например:

А = b₁а₁^α1 *b₂а₂ ^α2 * … *b_iа_і ^αi * … *b_Mа_М ^αм.

Результат Ā косвенного измерения как при линейных так и при нелинейных уравнениях измерений явного вида находят подстановкой в них результатов измерений аргументов ā₁, ā₂, …, ā_i, …, ā_М, т.е.

Ā = F(ā₁, ā₂, …, ā_i, …, ā_М).

Доверительные границы систематической составляющей погрешности Δ_С(Р_д) результата косвенного измерения находят в зависимости от формы представления погрешностей не исключенных систематических составляющих погрешностей аргументов и вида уравнений измерений.

Так, если погрешности результатов аргументов представлены границами Δ_Σi, то

Δ_С =

для линейных уравнений измерений или

Δ_С =

для нелинейных уравнений измерений.

Здесь М – число i – ых составляющих погрешностей;

–частная производная функции А по i – му аргументу. Значения производной вычисляются при подстановке результатов ā₁, ā₂, …, ā_i, …, ā_М.

Если систематические погрешности аргументов представлены доверительными границами Δ_Σ(Р_д), то

для линейных уравнений измерений

Δ_С(Р_д) =m

для линейных уравнений измерений

Δ_С(Р_д) = m

здесь m_i – коэффициент, зависящий от принятой при обработке результатов i – го аргумента доверительной вероятности Р_дi (см. ГОСТ 8207 – 76)

Ниже в таблице представлены формулы для приближённой оценки абсолютных и относительных погрешностей результатов наиболее часто используемых уравнений косвенных измерений. Оценки погрешностей аргументов представлены границами не исключенных систематических составляющих погрешностей (т.е. результат измерения аргументов представлен в виде ā ± ).

Таблица 7.1

Уравнение измерений величины Х	Погрешность
	абсолютная, ΔА	относительная, δА=ΔА/А
Х = Аа + Вв
Х = Аа – Вв
Х =
X = a^αb^β

Последовательность решения задачи

• Определить уравнение измерений.

• По характеристикам средств измерений и показаний приборов, учитывая метод и условия прямых измерений, оценить погрешность и определить результат измерений аргументов, входящих в уравнение измерений.

• Учитывая форму представления погрешности результатов измерения аргументов оценить погрешность результата косвенного измерения.

• Определить результат косвенного измерения и представить его в установленной форме.

Пример решения задачи