2. Приближенные вычисления

Общие сведения

Часто точное число представляют ограниченным количеством цифр, отбрасывая «лишние» цифры, либо округляя его до определенного разряда. Такое число называют приближенным.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненному по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

Приближенное число характеризуют числом значащих цифр, к которым относят все цифры, кроме нулей слева.

Цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения А_д измеряемой величины. Так как истинная погрешность полученного результата неизвестна, то ее заменяют понятием предельной абсолютной погрешности Δ_пр = | A - A_д | или предельной относительной погрешности δ_пр = Δ_пр / А (чаще указывается в процентах δ_пр = 100 Δ_пр / А)

Предельная относительная погрешность приближенного числа может быть оценена по формуле:

,

где δ – число верных значащих цифр;

n₁ – первая слева значащая цифра.

Для определения необходимого числа верных знаков обеспечивающих заданную предельную относительную погрешность следует руководствоваться правилами:

• если первая значащая цифра не превышает трех, то число верных цифр должно быть на единицу больше, чем модуль показателя |-q| при 10 в заданной относительной погрешности δ_пр = 10^-q

• если первая значащая цифра 4 и больше, то модуль показателя q равен числу верных цифр.

(Если δ_пр = 10^-q, то S можно определить по формуле )

Правила вычислений с приближенными числами

1. Результат суммирования (вычитания) приближенных чисел будет иметь столько верных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом верных знаков.

2. При умножении (делении) в полученном результате будет столько значащих верных цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством верных знаков.

3. При возведении в степень (извлечении корня) любой степени результат имеет столько же верных знаков, сколько их в основании.

4. Число и мантисса его логарифма содержит одинаковое количество верных знаков.

5. Правило запасной цифры. Чтобы по возможности уменьшить ошибки округления, рекомендуется в тех исходных данных, которые это позволяют, а также и в результате, если он будет участвовать в дальнейших вычислениях, сохранить по одной лишней цифре сверх того, что определено правилами 1-4.

3. Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Класс точности – обобщенная характеристика, используемая для оценки предельных значений основной и дополнительной погрешностей.

Основной называют погрешность прибора, присущую ему в нормальных условиях эксплуатации.

Условия эксплуатации определяются значениями влияющих на показания приборов величин, не являющихся для данного прибора информативными. К влияющим величинам относят температуру среды, в которой выполняются измерения, положение шкалы прибора, частоту измеряемой величины (не для частотомеров), напряженность внешнего магнитного (или электрического) поля, напряжение питания электронных и цифровых приборов и др.

В технической документации прибора указывают нормальный и рабочий диапазоны значений влияющих величин. Использование прибора при значении влияющей величины вне пределов рабочего диапазона не допускается.

Класс точности прибора устанавливают по форме:

• предела абсолютной погрешности Δ_пр = ± а или Δ_пр = ± (а + b • A);

• предела относительной погрешности δ_пр = ± p или δ_пр = ± [c + d((A_max/A)-1)];

• предела приведенной погрешности γ_пр = ± k

Числа a, b, p, c, d, k выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6•10ⁿ, где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

А – показания прибора;

А_max – верхний предел используемого диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность

,

где А_н – нормирующее значение, условно принятое для данного прибора, зависящее от формы шкалы.

Определение А_н для наиболее часто встречающихся шкал приведены ниже:

а) односторонняя шкала б) шкала с нулем внутри

А_н = А_max A_н = |A₁| + A₂

в) шкала без нуля г) существенно неравномерная шкала (для омметров, фазометров)

А_н = А₂ – А₁ А_н = L

Правила и примеры обозначения классов точности приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Формула для предельной основной погрешности		Обозначение класса точности на приборе
		общий вид	пример
Δ = ± а Δ = ± (а + b • A)	± а, ед. величины А ± (а + b • A), ед. величины А	Римскими или латинскими буквами	L
δ = (100•Δ)/A = ± p δ = [c+d(Amax/A-1)]	± p, % ±[c+d(Amax/A-1)], %	p c/d	1,5 1,0/0,5
γ = (100•Δ)/Aн = ± k если Ан = Lшк, то γ = (100•Δ´)/Lшк =± k	± k, % ± k, %	k k	1,5 1,5

Пределы допускаемых дополнительных погрешностей устанавливают в виде: а) постоянного значения для рабочего диапазона влияющей величины;

б) отношения предела допускаемой дополнительной погрешности, соответствующего регламентированному интервалу влияющей величины, к этому интервалу;

в) предельной функции влияния и др.