1.2. Политропное расширение, изобарное сжатие и изохорный подвод теплоты

Задача. 11 м³ криптона политропно расширяется до 1/4 первоначального давления, затем изобарно сжимается до первоначального объема, наконец, изохорно возвращается в исходное состояние. Начальные параметры рабочего тела: давление р₁ = 0,2 МПа и температура t₁ = 350°С. Показатель политропы расширения n = 2.

Изобразить указанный цикл в термических и тепловой диаграммах. Определить параметры рабочего тела в характерных точках указанной совокупности процессов цикла, суммарные значения теплоты и работы заданного количества криптона в цикле, а также изменения:

• внутренней энергии в политропном процессе 1-2;

• энтропии в изобарном процессе 2-3;

• энтальпии в изохорном процессе 3-1 (рис. 1.2).

Решение:

Рис.1.2. Изображения заданной совокупности процессов на термических и тепловой диаграммах: 1-2 – политропное расширение, 2-3 – изобарное сжатие, 3-1 – изохорный подвод теплоты.

Криптон (Kr) – одноатомный газ, поэтому его показатель адиабаты k = 1,6667. По таблице Менделеева определяем молекулярную массу криптона _Kr = 83,8 кг/кмоль.

Удельная газовая постоянная криптона

Масса криптона, участвующего в заданной совокупности процессов (цикле), определяется из уравнения Клапейрона для М кг рабочего тела .

Рассчитываем термические параметры в характерных точках цикла.

Точка 1

• абсолютная температура в Кельвинах Т₁ = t₁°С+273,15 = 350+273,15 = =623,15 К;

• удельный объем в начальной точке определяем из уравнения Клапейрона для 1 кг идеального газа рv = RT

;

Точка 2

Процесс 1-2 — политропный, поэтому в нём изменяются все три термических параметра состояния в соответствии с соотношением:

.

Так как по условию задачи р₁/р₂=4, то р₂ = р₁/4 = 0,2/4 = 0,05 МПа. Тогда

.

Температуру в точке 2 рассчитываем из приведенного выше соотношения

;

Для проверки рассчитываем значение Т₂ по уравнению состояния

Точка 3

Процесс 2-3 – изобарный, поэтому р₃ = р₂ = 0,05 МПа.

Соотношение между параметрами в изобарном процессе

тогда

По условию задачи v₃ = v₁ = 0,30912 м³/кг.

Результаты расчетов записываем в таблицу:

№ точек	р, МПа	v, м^3/кг	Т, К
1	0,2	0,30912	623,15
2	0,05	0,61824	311,57
3	0,05	0,30912	155,78

Рассчитываем количество удельной теплоты, подводимой (отводимой) в заданных процессах.

В политропном процессе 1-2

,

где c_v – изохорная теплоемкость. По упрощенной молекулярно-кинетической теории МКТ c_v=(3+j)·R/2; здесь j – количество различимых вращательных степеней свободы атомов в молекуле. Криптон одноатомный газ, поэтому j= 0.

Поскольку q_1-2 < 0, в процессе 1-2 теплота отводится.

В изобарном процессе 2-3

,

где с_p = (5+j)R/2 = 2,5R = 2,5·0,0992124 = 0,24803 кДж/(кг·К) — изобарная теплоёмкость.

Так как q_2-3<0, то и в этом процессе теплота отводится.

В изохорном процессе 3-1

Следовательно, в этом процессе теплота подводится.

Суммарное количество теплоты, подводимой (отводимой) в цикле:

— удельное (для 1 кг рабочего тела)

— общее (для М кг рабочего тела)

Следовательно, теплоты подводится больше, чем отводится. Разность подводимой и отводимой теплоты (550,14 кДж) превращается в работу.

Определяем значения удельных работ, получаемых (затрачиваемых) в рассматриваемых процессах.

В политропном процессе расширения 1-2

В изобарном процессе сжатия 2-3

В изохорном процессе нагрева 3-1

Суммарное количество работы, полученной в цикле:

– удельное (работа 1 кг газа)

– общее (работа М кг газа)

Результаты расчетов значений теплоты и работы сводим в таблицу

Процессы	Теплота, q	Деформационная работа, l
1-2 — политропный процесс расширения	–15,45	30,91
2-3 — изобарный процесс сжатия	–38,64	–15,46
3-1 — изохорный процесс подвода теплоты	69,55	0
Сумма	15,46	15,45

Изменение внутренней энергии в политропном процессе расширения 1-2:

Проверка: из первого закона термодинамики

Из расчета следует, что в политропном процессе расширения 1-2 работа совершается за счет внутренней энергии. Кроме того, часть внутренней энергии (15,45 кДж/кг) отводится в окружающую среду в виде теплоты.

Изменение энтропии в изобарном процессе 2-3

Поскольку Δs₂₃<0, теплота в этом процессе отводится, что и подтверждается приведенными выше расчетами.

Изменение энтальпии в изохорном процессе 3-1

Проверка: на основании первого закона термодинамики

,

где техническая работа в изохорном процессе

В изохорном процессе вся подводимая теплота идет на повышение внутренней энергии рабочего тела (и давления, так как dh=du+vdp).