- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция
.
В этом случае говорят, что в области Dзадано скалярное поле.
Если, например, функция обозначает температуру в точке, то говорят, что задано скалярное поле температур; если областьDзаполнена жидкостью или газом иобозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т. д.
Рассмотрим точки области D, в которых функцияимеет постоянное значение:
.
Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Пример. Пусть задано скалярное поле
.
Здесь поверхностями уровня будут поверхности
,
т. е. эллипсоиды с полуосями ,,.
Если функция есть функция двух переменныхи:
,
то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости :
,
которые называются линиями уровня.
Если значения мы будем откладывать по оси, то линиями уровня на плоскостибудут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхностис плоскостями. Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности.
Пример. Определить линии уровня функции.
Решение.Линиями уровня будут линии с уравнениями. Это окружности радиуса. В частности, приполучаем окружность. График данной функции, а также получаемые линии уровня изображены на рисунке.
Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.
Определение.Число А называется пределом функциипри, т.е. в точке, если для любогосуществует, такое, что при всех, удовлетворяющих условиями, выполняется неравенство— А.
Данное определение в символьном виде можно записать так:
Для обозначения предела функции в точкеиспользуют и другую форму записи:
.
Замечание. При определении предела функциив точкеполагают, что функция может быть и не определена в самой точке.
Пример.Доказать, пользуясь определением предела по Коши, что .
Решение.Область определения данной функцииD. Выберем произвольное числои найдем, такое, что для любой точки, для которой справедливо,выполняется неравенство. Так как для любой точкиDсправедливо соотношение
,
то
.
Оценим :
.
Таким образом,
,
где — расстояние от точкидо точки.
Следовательно, для любого мы нашли число, такое, что для любой точки, принадлежащей-окрестности точки, т.е. при,будет выполняться неравенство
.
Что и требовалось доказать.
Приведенные выше определения предела функции двух переменных без труда обобщаются на случай функций трех и более переменных. Обобщим, например, определение предела по Коши на случай функции независимых переменных.
Определение.Число А называется пределом функциипри,т.е. в точке, если для любогосуществует, такое, что при всех , удовлетворяющих условиям,,…,, выполняется неравенство— А.
Пользуясь понятием предела функции, можно дать определение бесконечно малой функции при (), вывести основные свойства бесконечно малых функций, сравнить бесконечно малые функции, доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел, и ее пределом есть бесконечно малая функция, сформулировать основные теоремы об арифметических операциях над пределами. Все эти теоремы для случаябыли рассмотрены при изучении функций одной переменной.