Непрерывность функций нескольких переменных

Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.

Определение.Функцияназывается непрерывной в точке, если выполнены следующие три условия:

1) определена в точкеи некоторой ее окрестности;

2) существует ;

3) =.

Если в точке одно из указанных трех условий не выполняется, то она является точкой разрыва функции.

Для функции двух независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию разрыва. Для функциитрех независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линию или поверхность разрыва.

Определение.Функцияназывается непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример.Найти точки разрыва функции .

Решение.Данная функция определена на R²всюду, кроме точки, которая и является точкой разрыва функции.

Пример.Найти точки разрыва функции .

Решение.Данная функция определена для любых, таких, что. Следовательно, прямаяявляется линией разрыва функции.

Пример.Найти точки разрыва функции .

Решение.Функция определена для любых, таких, что. Следовательно, сфера с центром в начале координат и радиусомR=3 является поверхностью разрыва функции.

Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные и полные приращения функции

Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем произвольную точкуDи дадимприращение, а значениеоставим неизменным. При этом функцияполучит приращение

,

которое называется частным приращением функции по переменнойв точке.

Аналогично, считая постоянной и придаваяприращение, получаем частное приращение функциипо переменнойв точке:

.

Полным приращением функции в точкеназывают разность

.

Замечание.В общем случае полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е..

Геометрически частные и полное приращения функции можно изобразить отрезками.

Пример.Найти частные и полное приращения функциив точке, если= 0,2,= 0,3.

Решение.По определению найдем частные приращения:

,

.

Найдем полное приращение функции:

.

При =1,=2,=0,2,=0,3 : = 0,22 = 0,4,

=10,3 = 0,3,

0,4 + 0,3 +0,20,3 = 0,76,

=0,4 + 0,3 = 0,7,

0,70,76,

т.е. мы получили, что при таких условиях .

Аналогично определяют частные и полное приращения функции nпеременных.

Частные производные

Определение. Частной производной функциипо переменнойв точкеназывается предел отношения частного приращения функциик соответствующему приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю, т.е.

.

Используются также и другие обозначения частных производных: ,,.

Аналогично определяют и частную производную функции в точкепо переменной:

.

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.

Пример. Найти частные производные функции.

Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции по переменной, считаяпостоянной:

. Аналогично.

Пример. Найти частные производные функции.

Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции по переменной, считаяипостоянными:

.

Аналогично и.

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Пусть графиком функцииявляется некоторая поверхностьQ. Возьмем точкуD. На этой поверхности ей соответствует точка. Пересечем график данной функции плоскостью. В сечении получим кривую( на рисунке это кривая), которую можно рассматривать как график функции одной переменнойв плоскости.

Тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной, значение частной производной функциив точкеравно тангенсу угла α, образованного положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной в точкек линии пересечения поверхностии плоскости.

Аналогично трактуется и геометрический смысл частной производной функции по.

Механический смысл частных производных функции двух переменных. Частные производныеихарактеризуют скорость изменения функциив данной точке, причем частная производнаязадает скорость изменения функции в направлении прямой, частная производная― в направлении прямой.