- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция, определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке:
Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в областиDопределено векторное поле градиентов. Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.
Теорема.Пусть дано скалярное полеи определено в этом скалярном поле поле градиентов.
Тогда производная по направлению некоторого вектораравняется проекции векторана вектор.
Доказательство.Рассмотрим единичный вектор, соответствующий вектору:
.
Вычислим скалярное произведение векторов и:
.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции по направлению вектора. Следовательно, справедливо
.
Если обозначим угол между векторами ичерез, то можем написать:
или.
Теорема доказана.
На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. Установим некоторые свойства градиента:
1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление векторасовпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно.
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
Замечание.Если функцияесть функция двух переменных, то вектор
направлен перпендикулярно к линии уровня , лежащей в плоскостии проходящей через соответствующую точку.
Пример.Определить градиент функциив точке.
Решение. Частные производные
,
в точке будут равны
,.
Следовательно,
.