Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если функция дифференцируема в точке, то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и) часть приращения функции.

Определение.Если функциядифференцируема в точке, то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

.

Приращения независимых переменных иназывают дифференциалами независимых переменныхии обозначают соответственнои. Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:

или в более краткой форме: .

Пример.Найти полный дифференциал функции.

Решение.для.

Пример.Найти полный дифференциал функции.

Решение.Найдем частные производные функции:

,

.

Следовательно,

для .

Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точкеназывается главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.

.

Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать, а для функции, зависящей от трех переменных, для,.

Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:

,

.

И в общем случае,

.

Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.

Например, если задана дифференцируемая функция переменных. Тогда абсолютная погрешностьвычислений по этой формуле оценивается величиной

,

а относительная погрешность ― величиной .

Дифференцирование сложной функции

Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменныхи:,. Тогда— сложная функция двух независимых переменныхи, а переменныеи— промежуточные аргументы.

Теорема.Если функциядифференцируема в точке, а функцииидифференцируемы в точкеD, то сложная функция, где;, дифференцируема в точкеD, причем ее частные производные вычисляются по формулам:

,.

Доказательство.Докажем первую из формул. В точкепеременнойдадим приращение, сохранивпостоянной. Тогда функциииполучат частные приращения,, а функция— полное приращение(так каки— приращения по обоим промежуточным аргументам). Функциядифференцируема в точке, поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде

.

Разделим данное равенство на :

(1)

Если , тоив силу непрерывности функцийи,

,.

Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что

,имеем

.

Аналогично

.

Теорема доказана.

Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных,,:,,. Тогда функцияявляется сложной функцией трех независимых переменных,,, а переменные,,называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:

,

,

.

Пример. Вычислить частные производные сложной функции двух переменных, где;.

Решение.Найдем частные производные

,,,,,. Следовательно,

.

Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке. Подставим выраженияив формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных

. (2)

Получим

или

Так как ,, то

. (3)

Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли инезависимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)