Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространствеR³является некоторая поверхностьQ. Выберем на ней точку.

Определение. Касательной плоскостью к поверхностиQв данной точкеназывается плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеимеет вид

.

Если уравнение поверхности Qзадано неявной функцией

, то:

,.

Подставим значения частных производных в уравнение касательной:

.

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точкев случае неявного задания функции имеет вид

Определение.Точка, в которойили хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение. Нормалью к поверхностиQв данной точкеназывается прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Запишем уравнения нормали к поверхности в точке, пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:

Если поверхность Qзадана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид

.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.

Решение.Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке:

,,

,.

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

.

Найдем уравнения нормали:

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.

Решение.Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке

,,,

,,.

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Находим уравнения нормали

.

Производная по направлению

Рассмотрим в области Dфункциюи точку. Проведем из точкивектор, направляющие косинусы которого,и.Haвекторе, на расстоянииот его начала, рассмотрим точку.

Длина вектора равна:.

Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в областиD. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:

, (1)

где ,истремятся к нулю при. Разделим все члены равенства (1) на:

.

Очевидно, что ,,.

Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

. (2)

Определение.Предел отношенияприназывается производной от функциив точкепо направлению вектораи обозначается, т. е..

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:

.

Величина характеризует скорость изменения функциив точкепо выбранному направлению. Если, то функцияв точкепо направлениювозрастает, в противном случае – убывает.

Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна

.

Пример.Найти производную функциив точкев направлении вектора.

Решение.Найдем направляющие косинусы вектора:

,,.

Частные производные ,,

в точке будут,,.

Следовательно, .

Пример.Найти производную функциив точкепо направлению вектора, если точка.

Решение.Векторимеет координаты:, длина вектораравна:.

Найдем направляющие косинусы вектора :

,.

Частные производные ,.

в точке будут,.

Следовательно, .