Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке, если приращение функции представимо в виде

,

где ― некоторое действительное число, зависящее от, а бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем, при.

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной

.

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение. Функцияназывается дифференцируемой в точке, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

,(1)

где и— некоторые постоянные, зависящие оти;и— функции оти, стремящиеся к нулю прии, то есть,.

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке.

Определение. Функцию, дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Например, функция дифференцируема на всей плоскости. Действительно, полное приращение данной функции в любой точкеR² имеет вид

Положив ,,,, получим представление в виде (1), так как и в фиксированной точке будут постоянными, а

,.

Условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде:

,(2)

где — расстояние между точками и:

.

При этом .

Очевидно, что если и, то и, и наоборот, если, тои, а следовательно,истремятся к нулю. Тогда в равенстве (1) суммуможно переписать в виде

,

так как ,и.

Справедливо и обратное утверждение: из представимости в форме (2) следует равенство (1), т. е. условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.

В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительнои, называют главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемоеявляется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем, прии.

Установим теперь связь между дифференцируемостью и непре­рывностью функции двух переменных.

Теорема. Если функциядифференцируема в точке,то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство.Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке, ее приращение представимо в виде

,

где ,,и— некоторые числа, не зависящие оти.

Следовательно,

,

а это означает, что функция непрерывна в точке.

Теорема доказана.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функциядифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производныеи, причем,.

Доказательство.Пусть функция дифференцируема в точке, тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1), имеем. Разделив это равенство наи перейдя к пределу при, получим

.

Следовательно, в точке существует частная производная.

Аналогично доказывается существование частной производной в точке

Теорема доказана.

Утверждения, обратные утверждениям данных теорем , неверны, т. е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.

Например, функция непрерывна в точке О(0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. Действительно,

.

Функция не имеет предела при. Следовательно,(0; 0) не существует.

Аналогично доказывается, что не существует (0; 0).

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, на нее налагают условия более жесткие, чем существование частных производных.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки, непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке, причем формулу (1) можно представить в виде:

.

Определение. Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.

Например, функция дифференцируема в любой точкеR² так как ее частные производные ивсюду непрерывны.

Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным усло­вием ее дифференцируемости в этой точке.

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в, называется дифференцируемой в точке, если ее полное приращение представимо в виде

,

где ,и— некоторые постоянные, зависящие от,и;,и—бесконечно малые функции при,и.

Определение.Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.