Дифференцирование функции, заданной неявно

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменныеи:

.

Например, уравнение определяет функцию, при этомDER.

Уравнение выполняется только прии задает точку. Уравнениене определяет никакой функции наR, так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматриватькак функцию от. Итак, уравнение вида не всегда задает функцию.

Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от. Если в это уравнение подставить вместо у функцию, то получим тождество

.

Придадим приращение, тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции, но с другой стороны

.

Разность также равна нулю:

.

Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Разделим последнее равенство на :

.

Откуда

.

Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:

.

Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.

Например, для функции справедливо:

,.

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением.

Решение.Обозначим левую часть данного уравнения через.

,.

Следовательно,

.

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением.

Решение.Обозначим левую часть данного уравнения через.

,.

Следовательно,

.

Пример. Найти частные производные неявной функции, заданной уравнением.

Решение.,,. Следовательно,

,

.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков. Пусть функция имеет непрерывные частные производныеи в точкеD(). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных и. Будем называть ичастными производными первого порядка.

Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в точке и обозначаются

,,,

(если дифференцируется последовательно два раза по);

,,,

(если дифференцируется сначала по, а затем по);

,,,

(если дифференцируется сначала по, а затем по);

,,,

(если дифференцируется последовательно два раза по).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по. В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

,,,,,,,.

Аналогично, частная производная от производной -го порядка называется частной производной-го порядка и обозначается

,,и т. д.

Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например,,,,и т.д., называются смешанными производными.

Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производныеи.

Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.

Справедлива следующая

Теорема. Если функцияи ее частные производные,,иопределены и непрерывны в точкеи в некоторой ее окрестности, то.

Замечание.Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение.Функция определена и непрерывна наR². Найдем частные производные первого порядка

,.

Они определены и непрерывны на R². Найдем частные производные второго порядка

,,

.

Дифференциалы высших порядков. Пусть— функция двух независимых переменныхи, дифференцируемая в областиD(). Придаваяиприращения,, в любой точкеDможно найти полный дифференциал

,

который называют дифференциалом первого порядка функции .

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D, если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для , считаяипо­стоянными:

.

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :

.

Замечание.Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.

Пример. Найтии , если.

Решение.Используем формулу для вычисления полного дифференциала .

,.

Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:

,,

.