Правило Лопиталя

При раскрытии неопределенностей полезна следующая теорема, впервые доказанная И. Бернулли.

Теорема (правило Лопиталя). Если функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале , причем и , за исклю­чением, быть может, точки ;

2) (либо );

3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных

,

то существует также предел отношения функций , причем

.

Доказательство. Приведем доказательство теоремы только для случая раскры­тия неопределенностей вида . Доопределим функции и в точке , положив . Доопределенные таким образом функции будут непрерывны в точке .

Рассмотрим отрезок |, где . На этом отрезке функции и непрерывны и дифференцируемы. Следовательно, по теореме Коши существует точка () такая, что

.

Если , то и , поэтому, согласно условию 3 теоремы, из последнего равенства следует, что

.

⊠

Смысл правила Лопиталя заклю­чается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отношения функции в случае неопределенности вида или к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя справедливо и в случае .

Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.

Пример. Вычислить .

Решение. Непосредственная подстановка предельного значения при­водит к неопределенности вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя:

.

Правило Лопиталя здесь применено дважды.

Замечание. Неправомерное применение правила Лопиталя, то есть если не выполняются условия теоремы может привести к неверному результату.

Исследование функций с помощью производных.

Возрастание и убывание функции

С помощью производной функции можно произвести полное ее исследование (найти промежутки возрастания и убывания, экстре­мумы, точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости, асимп­тоты графика) и построить график этой функции.

Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и до­статочно, чтобы 0 (0) для всех . Если же для любого >0 (<0), то функция возрастает (убы­вает) на этом интервале.

Другими словами:

1) не убывает на 0;

2 не возрастает на 0;

Доказательство.

Рассмотрим случай неубывающей функции.

Необходимость: Пусть не убывает на .

Тогда при >0

0 >0 0

.

Достаточность. Пусть 0 . Тогда по формуле Лангранжа имеем . Так как 0 (<<<<), то : 0, т. е. не убывает на .

⊠

Теорема. Если же для любого >0 (<0), то функция возрастает (убы­вает) на этом интервале.

Другими словами:

2) >0 возрастает на ;

4) <0 убывает на .

Доказательство. Докажем теорему для случая возрастающей функции. Пусть >0 на . Тогда для )>0 и поэтому в формуле Лагранжа, верной для ,

.

при < >0, т. e. возрастает на .

⊠

Замечание. Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убываю­щей функций достаточны, но не необходимы.

Например, функция возрастает на ] — 1; 1[, однако производная в точке обращается в нуль.

Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касатель­ная к графику возрастающей на функции ( > 0) составляет острый угол с положительным направлением оси ; касательная к графику убывающей на функции (<0) образует тупой угол с осью . Если функция на является постоянной: = C, С = const, то = 0 и касательная к графику функции параллельна оси .

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференци­руема на . Для отыскания интервалов монотонности функции найдем :

.

возрастает на некотором множестве, если > 0. Решим неравенство > 0. Оно выполняется при . Следовательно, возрастает на ]2; +[. убывает на множестве, где <0. Неравенство < 0 выполняется при .

Итак, функция убывает на интервале ]–; 2[, возрастает на ]2; +[.