- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Основные теоремы о пределах
Теорема. ( о единственности предела ) Если и , то .
Доказательство. Предположим, что , тогда , такое, что пересечение окрестностей ∩∅, но с другой стороны для и , такие, что
,
.
Но так как пересечение окрестностей равно пустому множеству, то мы получили противоречие.
⊠
Вычисление пределов значительно упрощается, если использовать теоремы о пределах суммы (разности), произведения и частного сходящихся последовательностей.
Теорема. Если функции и в точке имеют конечные пределы, т. е. , , то:
1) ,
2) ,
3) .
Теорема(о сравнении функций). Если в и существуют конечные пределы и , то
.
Теорема. Если в и существуют конечные пределы , то и .
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при , если = 0 т.е. если для >0
Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при , если =
Аналогично определяются бесконечно малые функции при , –0, +0.
Например, функция при ¥ является бесконечно малой, поскольку, при — бесконечно большая, т. к. ¥.
Из приведенного примера следует, что функция, имеющая одно и то же аналитическое выражение, при разных значениях может быть и бесконечно малой, и бесконечно большой.
Теорема. Если функция при — бесконечно большая, то функция при — бесконечно малая.
Верно и такое утверждение: если функция при — бесконечно малая, то функция при —бесконечно большая.
Например, функция при является бесконечно малой, то функция при — бесконечно большой, т.е.
, .
Теорема. Конечная сумма бесконечно малых функций в есть функция, бесконечно малая в .
Доказательство. Если , —бесконечно малые функции в , то = 0, .
Так как = 0,
то конечная сумма бесконечно малых функций действительно есть функция бесконечно малая.
⊠
Теорема. Произведение бесконечно малой функции и функции, ограниченной в , есть бесконечно малая функция.
Следствие 1. Произведение некоторого числа и бесконечно малой функции в есть бесконечно малая функция.
Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций в есть бесконечно малая функция.
Теорема. Частное от деления бесконечно малой функции в на функцию , такую, что , есть бесконечно малая функция.
Сравнение асимптотического поведения функций
Под асимптотикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки , в которой функция, как правило, не определена.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
Определение. Если и — бесконечно малые функции в и
,
то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .
Определение. Если , — бесконечно большие функции и
,
то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .
Определение. Если функции , — бесконечно малые и , то говорят, что является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с функцией .
Определение. Если функции , — бесконечно малые и
то они называются эквивалентными при .
Функции и , эквивалентные при , называют также асимптотически равными при .
Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~ .
~.
Например, из первого замечательного предела следует
~ .
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~ и ~.
Доказательство.
Запишем
.
Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая, что и , находим
.
⊠
Данную теорема используют при вычислении пределов, так как каждую бесконечно малую (или только одну) можно заменить бесконечно малой, ей эквивалентной.
Пример. Найти .
Решение. Так как ~ 7 при , то
.
Непрерывность функции в точке и на множестве
Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:
1) функция определена в точке , т. е. ;
2) существует ;
3) .
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функция называется разрывной в точке , а точка — точкой разрыва.
Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функции в точке на языке « — ».
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа > 0 можно найти такое число > О (зависящее от и ), что для всех , для которых , будет выполняться неравенство .
В более краткой записи определение можно записать так:
непрерывна в точке
.
Так как — приращение аргумента, a — приращение функции в точке , то определение 2 можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна в точке , если , т.е. при . Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е. .
В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.
Определение. Функция , определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки , называется непрерывной слева (справа) в точке , если существует предел слева (справа) функции и он равен .
Другими словами,
непрерывна справа в точке ,
непрерывна слева в точке .
Из определения односторонней непрерывности в точке следует, что функция , определенная в некоторой -окрестности точки , непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
Определение. Функция , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве.
Если X = , то для непрерывности функции на требуется, чтобы была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке b.