Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).

Пусть функция — раз непрерывно дифференцируема в точке и , но . Тогда:

1) если — четное и то — точка локального макси­мума.

2) если — четное и , то — точка локального минимума;

3) если — нечетное, то не является точкой локального экст­ремума.

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена, непрерывна и дифференцируема на . Найдем стационарные точки :

,

,

, .

1. Исследуем стационарную точку .

,

.

Следовательно, по второму достаточному признаку существования экстремума функции стационарная точка является точкой локального минимума функции: .

2. Для исследования стационарной точки находим

,

,

.

Согласно третьему достаточному признаку существования экстремума функции, точка не является точкой локального экстремума функции .

Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Точки перегиба функции

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (или вогнутым) на , если дуга кривой для расположена выше любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх (или выпуклым) на , если дуга кривой для расположена ниже любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение. Точка графика дифференцируе­мой функции , в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак вогнутости (выпуклости)). Если функция на дважды дифферен­цируема и >0 , то график этой функции на вогнутый (выпуклый вниз). Если функция на дважды дифференцируема и < 0 , то график этой функции на выпуклый.

Теорема. Если для функции вто­рая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть =0 или не существует. Если < 0 в и >0 в , то точка кривой с абсциссой отделяет интервал выпуклости от интер­вала вогнутости. Если > 0 в и < 0 в , то эта точка от­деляет интервал вогнутости от интервала выпуклости кривой. В обоих случаях точка является точкой перегиба графика функции.

⊠

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функ­ции .

Решение. Данная функция определена, непре­рывна и дифференцируема на R, причем

,

,

=0 при ,

<0 при ,

>0 при .

Следовательно, функция выпукла на интервале ]–; 2[, вогнута на интервале]2:+[, при , точка является точкой перегиба графика функции .

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при + и при –, или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угодно малы. Такую прямую называют асимптотой графика.

Различают асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси орди­нат) и наклонные. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т. е.  или .

Очевидно, что непрерывные на функции вертикальных асимптот не имеют; такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода функции . Следовательно, для отыскания верти­кальных асимптот графика функции надо определить те значения , при которых хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен.

Прямая называется наклонной (если — гори­зонтальной) асимптотой графика функции при + ( –), если функцию можно представить в виде , где при + ( –).

Теорема. Для того чтобы график функции имел на­клонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы су­ществовали конечные пределы: , .