- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Предел числовой функции
Конечный предел функции при . Пусть функция определена в проколотой окрестности точки , т. е. на множестве . В точке значение может быть не определено.
Дадим определение конечного предела функции при на языке « — » (по Коши).
Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для >0 можно указать такое число ()>0, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или, в более краткой записи:
В определении используются понятия -окрестности и проколотой -окрестности, поэтому его и называют определением на языке « — » и кратко записывают так:
Геометрическая интерпретация определения конечного предела функции по Коши дана на рисунке.
Из рисунка видно, что отображается функцией в , т. е. любому из проколотой -окрестности точки соответствует значение , попадающее в -окрестность точки .
Односторонние пределы функции. При рассмотрении конечного предела функции при предполагалось, что точка , приближаясь к , могла оставаться как слева, так и справа от нее.
Иногда приходится рассматривать предел функции при условии, что точка , приближаясь к точке , остается либо правее, либо левее ее.
Введем понятие левой и правой окрестностей точки .
Определение. Левой -окрестностью точки (обозначается ) называется множество всех , удовлетворяющих неравенству
0–
Т.е.
= {|
0–
Проколотая левая -окрестность получается «выкалыванием» из -окрестности точки ,
=
{|
0<–
Аналогично определяется и правая -окрестность.
Определение. Число называется левым пределом (левосторонним пределом или пределом слева) функции в точке , если для любого > 0 существует =()>0, такое, что для
Обозначают предел слева .
Аналогично определяется правый предел функции в точке .
Замечание. Если в точке функция имеет конечные правый и левый пределы и они равны между собой, то это число является пределом функции в точке :
===.
Конечный предел функции при .
Определение. Число называется пределом функции при + , если для любого >0 существует положительное число , такое, что неравенство выполняется для всех , при которых >.
Аналогично определяетcя предел и при –
Множество {|>} = (+) называют -окрестностью бесконечно удаленной точки.
Бесконечные пределы функции при . Рассмотрим случай, когда функция при по абсолютной величине неограниченно возрастает. Такая функция не имеет конечного предела, поэтому необходимо обобщить понятие предела функции.
Определение. Предел функции при называется бесконечным, если для любого положительного числа >0 существует число > 0, такое, что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство | | > .
Если стремится к бесконечности при , то ее называют бесконечно большой функцией и пишут
=
Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, пишут соответственно:
=+ или =–
Бесконечный предел функции при .
Определение. Предел функции при + (или –) называется бесконечным, если для любого сколь угодно большого числа найдется такое число > 0, что неравенство || > выполняется для любого , для которого || >:
= .