Производная сложной функции

Пусть . Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции , если известны производные составляющих ее функций и . Придадим фиксированному значению аргумента приращение . Этому приращению соответствует при­ращение функции . Приращению , в свою очередь, соответ­ствует приращение функции . Составим отношение

,

т.е. .

При приращения , в силу дифференцируемости соответствующих функций стремятся к нулю. Так как по определению

, ,

то для функции .

Функцию иногда называют промежуточным аргументом, а — основным аргументом. Таким образом, можно сформулировать сле­дующее.

Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргу­мента по основному аргументу.

Полученное правило легко распространяется на сложную функ­цию, зависящую от нескольких аргументов, т. е. на композицию нескольких функций.

Пример. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции

.

Дифференциал сложной функции.

Инвариантность формы диффе­ренциала

Пусть дана сложная функция . Выше мы определили дифференциал в точке как произведение производ­ной от функции в точке и дифференциала независимой пере­менной:

=, (1)

В случае сложной функции имеем , следовательно, . Но так как , то

. (2)

Формулы (1) и (2) для дифференциала совпадают по форме записи, однако они имеют различный смысл: в первой из них , а во второй — .

В этом и заключается свойство инвариантности формы дифференциала: дифференциал функции всегда равен произве­дению производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, незави­симой переменной или же только промежуточным аргументом.

Пример. Для функции найти дифференциал по незави­симой переменной и по промежуточному аргументу.

Решение. 1) Найдем дифференциал по незави­симой переменной

.

2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :

или .

Но так как полученные результаты в первом и втором случае равны друг другу.

Правила дифференцирования

Пусть функции и дифференцируемы в точке и некоторой ее окрестности. Тогда справедливы следующие пра­вила дифференцирования.

Правило дифференцирования алгебраической суммы функций.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных отдельных слагаемых.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда функции и получат приращения и , а функция — приращение . Таким образом, по определению

.

Так как по предположению функции и дифференцируемы,

.

Следовательно,

.

Это правило легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых

⊠

Правило дифференцирования произведения функций. Производ­ная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый, т. е.

.

Доказательство. Пусть . Когда аргументу придают приращение , то функции , и получают соответственно приращения , и , причем

.

Разделим последнее равенство на

.

В последнем равенстве приращения , и зависят от , а и не зависят от ( так как и — значения функции, соответствующие начальному значению аргумента ).

Используя теоремы о пределах функций, находим

.

Так как

и ( т.к. функция непрерывна). Итак, окончательно имеем:

.

⊠

Следствие. Пусть функция имеет производную в точке , тогда функция ( — const) также имеет в этой точке произ­водную, причем

.

Правило дифференцирования произведения двух функций ме­тодом математической индукции легко можно распространить на случай любого конечного числа сомножителей

Правило дифференцирования частного функций. Производная дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя дан­ной дроби, а числитель представляет собой разность между произве­дением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.

Доказательство аналогично доказательству предыдущих двух теорем.

Пример. Найти производную функции .

Решение. .

Логарифмическое дифференцирование

Пусть функция дифференцируема на отрезке и >0 для . Тогда определен . Рассматривая как сложную функцию аргумента , принимая за промежуточный аргумент. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

,

откуда

.

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной. Данный метод используется, если производная от логарифма находится легче, чем производная самой функции.

Логарифмическое дифференцирование удобно применять, когда требуется найти производную большого числа сомножителей и производную степенно-показательной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Найдем

,

Откуда

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Найдем

.

Производная обратной функции

Теорема. Если функция монотонна на отрезке и имеет во всех точках интервала ненулевую производную , то обратная функция дифференцируема во всех точках интервала и для любого ее производ­ная равна .

Доказательство. Пусть функция моно­тонна на отрезке и имеет производную . Пусть, далее, , . Тогда существует обратная (по отноше­нию к функции ) функция , которая является не­прерывной и монотонной на :

.

Дадим фиксированному значению аргумента обратной функции приращение . Этому приращению соответствует приращение обрат­ной функции, причем в силу ее монотонности . Найдем про­изводную обратной функции. По определению

.

⊠

Пример. Найти производную функции, обратной данной .

Решение. Данная функция непрерывна и моно­тонна на всей числовой оси. Следовательно, существует, которая также является не­прерывной и монотонной.

Найдем производную функции :

.

Следовательно,

.