- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Приведем несколько теорем, характеризующих свойства непрерывных на отрезке функций.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней, т. е. на нем существуют по крайней мере две точки и , такие, что
, .
Например, функция непрерывна на отрезке [–2; 3]. Она ограничена на [–2; 3] ( 9) и существуют такие две точки = 0 и = 3, принадлежащие отрезку [– 2; 3], что
, .
Заметим, что непрерывная функция на открытом промежутке ]а; Ь[ может быть неограниченной и, следовательно, не иметь своих точных нижней и верхней граней. Такой функцией является, например, функция на интервале ]; [.
Теорема (о сохранении знака). Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой знак функции совпадает со знаком .
Доказательство этой теоремы основывается на использовании теоремы о плотности числовой прямой. Геометрическая интерпретация этой теоремы дана на рисунках.
Например, функция непрерывна в точке , и .Следовательно существует такая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак, т. е. .
Теорема Больцано — Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение функции равно нулю.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки и графика функции, соответствующие концам отрезка , лежат по разные стороны от оси , то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось .
Функция, график которой представлен на рисунке ниже, имеет три точки: , , где .
Замечание. Если непрерывна и монотонна на ,то существует не более одной точки , такой, что .
Теорема (о промежуточных значениях). Пусть непрерывна на отрезке и , . Тогда для любого числа , заключенного между и , найдется такая точка , что .
Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции . Пусть и .
Тогда прямая , где — любое число, заключенное между и , пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Если же непрерывна и монотонна на , то существует единственная точка , такая, что .
Теорему о промежуточных значениях можно переформулировать так: непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает все промежуточные значения.
В курсе математического анализа встречаются кусочно-непрерывные на отрезке функции.
Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв, и, кроме того, она имеет односторонние пределы в точках и .
Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.
Дифференциальное исчисление
функции одной переменной.
Понятие производной. Механический и геометрический смысл производной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что , то приращение функции определяется выражением .
Определение. Производной функции в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
Наиболее употребительные обозначения производной функции
в точке : , , , . Таким образом,
Производная функции в произвольной точке обозначается так: , , , , .
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
При каждом конкретном числовом значении производная (если она существует при данном ) функции представляет собой определенное число. Значениям переменной ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная является функцией аргумента . Можно сказать, что функция «порождает» (или «производит») функцию (отсюда и название «производная»).
Если для некоторого значения
+ ( или –),
то говорят, что для этого значения существует бесконечная производная.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать существование конечной производной, если не оговорено противное.
Определение. Если функция определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки и существует конечный или бесконечный предел для этой функции:
,
то он называется соответственно конечной или бесконечной производной слева (справа) функции в точке и обозначается
.
Левую и правую производные называют односторонними производными. Из свойств пределов следует, что если функция , определенная в некоторой окрестности точки , имеет конечную производную , то существуют производные слева и справа, причем
==
Пример. Найти по определению производную функции .
Решение. Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда:
.
Механический смысл производной. Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки . Если аргумент функции получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что принадлежит той же окрестности точки , то соответствующее приращение функции , тогда средняя скорость изменения функции
,
а мгновенная скорость ее изменения
.
В этом состоит механический смысл производной, т. е. производная — математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией . В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них.
1. Пусть материальная точка движется неравномерно и — функция, устанавливающая зависимость пути от времени . Тогда мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути по времени :
.
2. Пусть —функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени . Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени :
.
3. Пусть — функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры . Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты по температуре :
.
Геометрический смысл производной. Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой.
Определение. Касательной к кривой в точке называется прямая , которая представляет собой предельное положение секущей при стремлении по кривой точки к точке .
Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка является точкой излома, или заострения, кривой.
Пусть кривая является графиком функции и точка . Предположим, что касательная к кривой в точке существует. Угловой коэффициент секущей .
Если , то точка движется по кривой к точке и секущая стремится к своему предельному положению . Таким образом,
,
т. е. если кривая является графиком функции, то производная от функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Уравнения касательной и нормали. Угол между кривыми. Для составления уравнений касательной и нормали к плоской кривой используем геометрическую интерпретацию производной.
Пусть кривая задана уравнением . Угловой коэффициент касательной к ней в точке , где . . Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: , но поэтому
есть уравнение искомой касательной.
Так как угловые коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности , то уравнение нормали в точке имеет вид
.
Определение. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения.
Определение. Две линии называют ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.
Пример. Найти угол, под которым синусоида пересекает ось в начале координат.
Решение. Так как , то , следовательно касательная, а значит, и синусоида, пересекают ось под таким углом , для которого , т. е. под углом .