6. Практикум по алгебре Практическое занятие №1. Алгебры, подалгебры, гомоморфизмы алгебр.

1. Выяснить, является ли алгеброй декартов квадрат R²=RхR относительно операции "сложения" его элементов (а, b) + (с, d) = (а + с, b + d).

2. Проверить, образует ли алгебру множество радиус-векторов, расположенных в первой четверти координатной плоскости, относительно операций:

а) сложения векторов плоскости;

б) вычитания векторов плоскости.

3. Является ли алгеброй множество N относительно следующих действий:

а) а*b = а² - 2ab + b²;

б) a*b = a²-b².

4. Является ли алгеброй множество Z относительно следующих действий:

а) а*b = [(а-b)³ - (а+b)³] / 3;

б) a*b=[(a-b)² + (a+b)²]/2.

5. Даны две алгебры <N, •> и <{0,1}, •>. Доказать, что отображение , заданное по правилу nN, (n) = 0, при n0;

1, при n=1,

является гомоморфизмом данных алгебр. Определить вид гомоморфизма.

6. Является ли гомоморфизмом (и какого вида) отображение : хх² алгебры <Q, , 1> на себя ?

7. Является ли отображение : х2х гомоморфизмом (и какого вида) алгебры <Z, +, 1> в алгебру <Z, +, 2>?

8. Выяснить, какое из следующих соответствий является гомоморфизмом алгебры R, - > на себя и какого вида:

а) (х) = 2х, г) (х) = 0,

б) (х) = х/3 д) (х) = | х |.

в) (х) = х², е) (х)=1.

Практическое занятие №2. Группа, аксиомы группы. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

1. Выяснить, какие из следующих алгебр являются группами:

a) <N, *>, где * : хх+1, ;

б) <Z, +>, где + : (а,b,с)  а+b+с,

b) <Z.-,+>,

г) <Z, :>,

д) <N, ->,

e) <R\{0}, :>.

2. Доказать, что следующие алгебры являются аддитивными группами:

a) <2Z, +>, б) <Q, +>, в) <Z₅, +>,

г) <R,+>, д) <mZ, +>, e) <Z₆, +>.

3. Доказать, что следующие алгебры являются мультипликативными группами:

a) <R\{0}, >, 6) <Q⁺, •>, в) <{2^к}, •>.

4. Показать, что алгебра <R⁺, T> является полугруппой и найти нейтральный элемент (когда он имеется), если операция Т задана так:

а) аТb = а(1-b)+b, в) аТb = 2аb-а-b+1,

б) аТb = 2b(а+1)+2а-1, г) аТb = -2а-2b + 6 + ab.

5. Доказать, что <R⁺, T> является коммутативной полугруппой, если операция Т задана так:

а)Т: (a,b)  a^lg(b), б) Т: (a,b) ab/(a+b).

6. Показать, что <А, Т>, где А = [0, 1], а операция Т задана по правилу аТb = (a+b)/(l+ab), является полугруппой.

7. Найти нейтральный элемент е полугруппы <R, T> и множество всех элементов, обладающих симметричными, моноида <R, Т, е>, если:

а) аТb = а + b - ab,

б) аТb = - а - b + ab + 2,

в) аТb = 2а+2b-2ab-1,

г) аТb = -2а -2b + 6 + ab.

8. Доказать или опровергнуть, что для любого множества А0 алгебра (А), > является группой, если операция  задана по правилу: XY = (X\Y)  (Y\X), где (А) - множество всех подмножеств множества А.

9. Показать, что Z, Т>, является группой, если

а) аТb = а + b + 3

б) аТb = а + b - 2.

10. Показать, что <{а+b3 / a,bQ},+> является подгруппой группы <Q,+>.

11. Показать, что <{а+b2 / (а²-2b² = 1, a,bQ°), • > является подгруппой группы <Q°, • >. где Q° = Q\{0}.

12. Дано Z_p = {0, 1, 2,..., р-1} множество равноостаточных классов целых чисел. Z°_p = Zp\{0}. При каких условиях Z^o₇<Z^o_P, a Z^o₈ < Z^o_P.