Практическое занятие №12

Алгебраическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в

алгебраической форме.

1. Построить точки (радиус-векторы), изображающие комплексные числа:

z₁ = 2, z₂ =-2i,

z₃ = 1 + 2i, z₄ =

2. Построить векторы, изображающие сумму и разность комплексных чисел:

a) z₁ = 2 – i, z₂=l+3i;

б) z₁ = -3 + 2i, z₂ = 5 + I;

в) z₁ = 2i, z₂ = -3-4i

3. Выполнить указанные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

a) б) в) (1 – 2i)¹⁰

г) д)е)

4. Доказать тождество:

5. Доказать тождество:

Практическое занятие №13

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

a) z = 3; b) z = -2; c) z = -i; d) z = -1 – i;

e) z = 3 + i; f) z = <3, -1>; g) z = <0, 5>; h) z = <-1, 1>

2. Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа:

a)

b)

c)

d)

3. Выполнить указанные операции в тригонометрической форме.

a) ,

b)

c) , d) ,

e) , f)

4. Найти геометрическое место точек, для которых

a) |Z|  3, b) |Z - 3i| < 1,

c) |Z + (1 - i)| > 4, d) |Z + 2i| + |Z – 4 + i| = 10,

e) arg z = /2, f) |Z - 4| + |Z – 3i| = 8.

Практическое занятие №14

Отношение делимости в кольце Z.

Свойства отношения делимости в кольце Z.

Деление с остатком в кольце Z.

Теорема о делении с остатком.

1. Доказать, что если (a/с)& (b/с) (a±b)/c

2. Доказать, что если (a/c)&(bZ)  (аb)/с

3. Доказать, что если (а/b) => |а| > |b|

4. Доказать, что nZ n(n+1)/2

5. Разделить с остатком

а) - 145 на 13 б) 356 на -27 в) - 1248 на 325

6. Доказать, что при nZ (n³ + 5n)/6

7. Доказать, что nZ (n³ + 11n)/6

8. Доказать, что nZ (n³ + n)/2

9. При каких nZ число n² - 1 делится на 3?

10. Доказать, что nZ n²(n²-1 )/4

11. Доказать, что nZ (n⁵-n)/5

12. Доказать, что если n = 2k + 1, то (n²-l)/8

13. Доказать, что ни при каком nZ число n²+1 не делится на 3

Практическое занятие №15

Наибольший общий делитель целых чисел и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.

1. Доказать, что если а = bq +r, где а, b, r  0, то (а, b) = (b, r).

2. Доказать, что если (а₁, а₂) = d & (d₁, а₃) = d₂ &…& (d_n-2, a_n) = = d_n-1 => (a₁,a₂, a_n) = d_n-1.

3 Применяя алгоритм Евклида, найти НОД(а, b), если:

а) а = 6188, b = 4709.

б) а = 3164, b = 142.

в) а = 10248, b = 2142.

г) а = 4562, b = 356.

д) а = 1524, b = 240.

Практическое занятие №16

Взаимно простые числа и их свойства.

Наименьшее общее кратное целых чисел и его свойства. Способы нахождения наименьшего общего кратного.

1. Доказать, что если d = (a, b) => (а / d, b / d) = 1.

2. Доказать, что если ((аb) /с) & (а, с) = 1) => (b /с).

3. Доказать, что если (с /а) & (с /b) => (с /ab).

4. Доказать, что если ((а, с)=1) & (b, с) = 1) => (а  b, с) = 1.

5. Доказать, что [а, b] = ab/(а, b)

6. Доказать, что [a/k, b/k] = [а, b] / к, где к  0, kZ

7. Доказать, что если

( [а₁, а₂] = m₁) & ([m₁, а₃] = m₂) &... &([m_n-2, а_n] = m_n-1) => [а₁а₂...а_n]=m_n-1

8. Вычислить НОК [а, b], используя формулу:

[а, b] = ab/(а, b)

а) а = 84, b = 36

б) а = 72, b = 22

в) а = 124, b = 32

г) а = 244, b=18

9. С помощью решета Эратосфена выделить все простые числа от 2 до 100.

10. Выяснить, какие из чисел