Практическое занятие №3. Кольцо, поле, линейное пространство.
1. Выяснить, какие из указанных алгебр являются кольцами, полями и линейными пространствами над полем действительных чисел R.
1. <Z, +, •>;
2. <R, +, •>;
3. <Q, +, •>
4. <Z6, + ,
5. <Z5, +, >:
6. <N, +, >;
7. R над Q;
8. Q над R;
9. <R1, +, {wl | lÎR}>, где R1 - множество радиус-векторов плоскости.
10. <R1, +, {wl | lÎR}>, где R1 - множество векторов на координатной прямой.
11. Множество радиус-векторов на любой прямой, проходящей через начало координат, относительно операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.
Практическое занятие №4. Операции над матрицами. Свойства операций. Группа, кольцо и линейное пространство матриц.
1. Выполнить указанные действия: (3А + В)•С, если
A
=
,
B
=
,
C
=
.
2. Наиболее рациональным способом вычислить произведение матриц:
•
•
•
.
3.
А
=
,B=
.
Найдите А*В
4.
A=
,B=
.
Найдите А*В
5.
A=
,B=
,
С=
.
Найдите А*С+В.
4. Доказать, что множество квадратных матриц второго порядка образует группу по сложению.
5. Доказать, что множество квадратных матриц третьего порядка образует некоммутативное кольцо.
6. Доказать, что множество квадратных матриц второго порядка образует линейное пространство.
Практическое занятие №5.
Обратимые матрицы.
Условия обратимости матрицы.
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Решение матричных уравнений.
1. Вычислить строчный ранг матрицы и выяснить, имеет ли она обратную матрицу.
а)
А =
,
б) В=
,
в) С =
,
г) А=
,
д) А=
.
2. Доказать, что строчный ранг матрицы А равен ее столбцовому рангу.
3. Найти матрицу A-1
а)
А =
,
б) А=
,
в)
А =
,
г) А =
,
д)A
=
4. Имеет ли матрица А обратную матрицу A-1?
а)
А =
,
б) А =
5. Решить матричные уравнения:
а)
A•Х
= В, если А-1
=
,
В =
б)
Х•А = В, если А =
,
В = (-1 -4 -2)
в)
А•Х = В, если А=
,
В =
г)
•X
=
д)
•X
=
е)
•
X
•
•
ж)
X
•
=
6. Вычислить степени матрицы.
а)
; б)
; в)
Практическое занятие №6
Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Определители второго и третьего порядков.
1. Определить четность и нечетность подстановок:
а)
=
;
б)
=
.
2. Найти А5 < n
3. Найти А4 < 4
4.
Доказать, что τ =
- нечетная подстановка.
5.
Определить, с каким знаком входят в
определитель 7-го порядка произведение
6.
Выбрать значения i
и k
так, чтобы произведение
было членом определителя (какого
порядка?) и входило в него со знаком (+).
7. Вычислить определители:
а)
б)
в)
Практическое занятие №7
Определитель квадратной матрицы.
Миноры и алгебраические дополнения.
Способы вычисления определителя.
Вычислить определители:
1.
а)
б)
в)
2. Вычислить:
а)
б)
3. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
а)
13
б) 32
в) 41
г)
24
4. Разложить определитель по элементам первого столбца.
Практическое занятие №8
Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2. Докажите, что если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
3. Докажите утверждение: если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Практическое занятие №9
Решение систем линейных уравнений матричным методом
и по правилу Крамера.
1. Решить системы матричным методом.
а)
б)
в)
г)
2. Решить системы методом Крамера:
а)
б)
в)
3. Найти Ф.С.Р.
а)
б)
в)
г)
Практическое занятие №10
Решение однородных систем линейных уравнений.
1. Решить системы однородных линейных уравнений:
а)
б)
в)
г)
2.
Доказать утверждения: а) если векторы
Х и У являются решениями однородной
системы, то их сумма также является
решением данной системы; б) если вектор
Х является решением однородной системы,
то вектор
также
является решением данной системы
3. Докажите, что система не имеет нетривиальных решений:
Практическое занятие №11
Контрольная работа №1 по темам «Понятия об основных алгебраических структурах», «Теория делимости в
кольце Z», «Матрицы», «Определители квадратных матриц», «Решение систем линейных уравнений».
Задание I. Выяснить, какую алгебраическую структуру образует:
1.
<2Z,
>
, где x,
у
2Z,
х
у =
ху
2. <Z, >, где x, у Z, х у = х + у – 3xy
3. <2Z, +, •>
4. <Q+,+, •>
5.
<R+,
>,
где x,
у
R+,
х
у =
ху
6. <R{1}, >, где x, у R{1}, х у = x + y - xy
7. <R, >, где "x, у Î R, х ° у = х + у - 1
8.
<Z8,
,
>
где
9. <Z11, ,•>
10.
<R,
>,
где x
y
=
Задание II. Найти строчный ранг матрицы.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
Задание III. Вычислить матрицу, обратную данной:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
Задание IV. Вычислить значение определителя:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
;
6)
;
7)
;
8)
9)
;
10)