1.2. Законы распределения случайных величин при малом объеме выборки

Классическая теория, основанная на нормальном законе распределения, при малых выборках неприменима. В этом случае используются другие законы распределения, разработанные микростатистикой: распределения Стьюдента и Фишера.

- распределение Стьюдента. Известно, что если из нормально распределенной совокупности значений случайной величины путем - кратного независимого выбора взять выборки объемом, то средние значения этих выборок будут тоже распределены нормально с тем же средним значением, но с меньшей дисперсией, т.е.

.

Отношение отклонения выборочного среднего значения от его математического ожидания(среднее значение генеральной совокупности) к основной ошибкеназываетсястатистикой. Эта статистика имеет нормальное распределение с равным нулю средним значением и равной 1 дисперсией

.

При научных исследованиях дисперсия генеральной совокупности почти всегда неизвестна и поэтому нельзя выполнить нормирование. По выборке можно определить несмещенную оценкудисперсии

.

Отклонение выборочного среднего значения от среднего значения генеральной совокупности, нормированное при помощи этой оценки, называется статистикой:

.

При =30- распределение практически мало отличается от нормального распределения. При малых значениях- распределение заметно отличается от нормального распределения. Оно более островершинное.

- распределение Фишера. Рассмотрим распределение статистики . Имеются две независимые выборки разных объемов, средние значения которыхи. По данным этих выборок получены оценкиидисперсий генеральных совокупностей с числами свободыи.

Требуется выяснить, являются ли эти оценки существенно различными, или данные выборки можно рассматривать как взятые наудачу из нормальных генеральных совокупностей, имеющих равные дисперсии .

Для решения этой задачи применяется статистика , называемая дисперсионным отношением. Статистикапредставляет отношение оценоки, полученных из независимых выборок, взятых наудачу из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией:

при >.

- распределение Фишера выражает вероятность того, что некоторое значение будет больше или равно:

- распределение не зависит от дисперсии генеральной совокупности, а зависит от чисел степеней свободы. График плотности распределения приведен на рис. 1.8.

Рис. 1.8. - распределение Фишера

Статистика чаще всего применяется при дисперсионном анализе, в котором требуется только односторонний критерий значимости. Нулевая гипотеза, которая проверяется при помощи статистики, состоит в том, что выборки взяты из одной нормальной генеральной совокупности или из разных нормальных генеральных совокупностей, имеющих равные дисперсии.

Распределения Фишера и Стьюдента используются при формировании выборки из выборок малого объема и установлении статистической значимости случайных величин, параметров и уравнений.

Малая выборка содержит мало информации об интересующем свойстве. Для получения более надежных выводов требуется объединить малые выборки в одну, но при этом необходимо установить их однородность. Совокупности однородны, если их математические ожидания равны.

Критериями для сравнения выборок служат: равенство двух выборочных дисперсий, равенство двух выборочных средних и однородность ряда выборочных дисперсий.

Критерий однородности ряда дисперсий. Однородность дисперсий ошибок измерений случайной величины в случае равного объема выборок оценивают по критерию Кохрена, расчетное значение которого определяют по формуле

,

где - дисперсия ошибок измерения СВ- й выборки;- число выборок.

Критическое значение критерия определяют по таблице (приложение 1) при заданных значениях уровня значимости и степенях свободы:;, где- число измерений (объем выборки).

Пример 1.3. При определении предела прочности получены следующие значения дисперсий ошибок измерений пяти партий бетона: 2,5; 2,8; 3,2; 2,4; 2,7. Ошибки во всех случаях подсчитывались по 17 – ти измерениям.

Оценить однородность дисперсий ошибок измерений прочности, т.е. возможность проведения дисперсионного анализа.

Определяем расчетное значение критерия

==0,235.

Критическое значение критерия при иравно 0,3645. Таким образом,, гипотеза об однородности дисперсий ошибок измерений подтверждается с вероятностью 95 % и можно проводить дисперсионный анализ. Результаты расчета в среде ЭТ приведены в таблице 1.5.

Т а б л и ц а 1.5

Расчет в среде ЭТ

Критерий равенства двух дисперсий. Для сравнения дисперсий двух выборок используют - критерий Фишера. Определяют расчетное значение- критерия в виде отношения большей дисперсии к меньшей

.

Так как проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий, то желательно, чтобы это отношение было как можно ближе к единице. Критическое значение - критерия вычисляем с помощью статистической функцииРАСПОБР. Число степеней свободы принимают соответственно, где- объем выборки. Гипотеза о равенстве дисперсий подтверждается, если.

Критерий равенства двух средних. Для сравнения двух выборочных средних используют - статистику. После проверки гипотезы о равенстве двух выборочных дисперсий, вычисляют общую дисперсию двух выборок и расчетное значение- статистики по формулам:

.

Критическое значение - статистики определяем с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР. Число степеней свободы. Гипотеза о равенстве средних значений подтверждается, если.

Пример 1.4. Сравним результаты испытаний двух выборок образцов бетона. В первой выборке объемом 29 образцов средний предел прочности =40,1 МПа, дисперсия=8,2. Во второй выборке объемом 13 образцов средний предел прочности=40,9 МПа, дисперсия=7,1.

Расчетное значение - критерия:

=8,2/7,1=1,155.

Диалоговое окно функции РАСПОБР представлено на рис. 1.9.

Степени свободы

=28+12=40. Критические значения - критерия при различных значениях уровня значимости приведены в таблице 1.6.

Рис. 1.9. Диалоговое окно функции FРАСПОБР

Т а б л и ц а 1.6

Результаты расчета в среде ЭТ

Так как расчетное значение - критерия меньше критических значений при всех уровнях значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий подтверждается.

Определим общую дисперсию

Вычислим расчетное значение - статистики.

Критические значения - статистики при различных значениях уровня значимости приведены в таблице 1.6.

.

Расчетное значение - статистики при всех уровнях значимости меньше критического значения. Следовательно, между средними значениями прочности бетона двух выборок нет существенного различия.

Для установления статистической значимости случайной величины определяют расчетное значение - статистики по формуле

и сравнивают его с критическим значением . Если, то СВ статистически значима.

Пусть при испытании 5 – ти образцов оказалось, что среднее значение прочности на сжатие равно МПа, а стандартное отклонениеМПа.

Расчетное значение

.

Критическое значение при равно. Так как, то данное среднее значение прочности на сжатие статистически значимо.