- •1. Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Законы распределения случайных величин при малом объеме выборки
- •2. Дисперсионный анализ данных наблюдений
- •2.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •Контрольный расчет
- •Оценка влияния отдельных факторов
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •Дисперсионный анализ без повторений
- •Дисперсионный анализ с повторениями
- •2.3. Дисперсионный анализ в материаловедении
- •2.4. Дисперсионный анализ в геодезии
- •3. Формирование выборки из выборок малого объема
- •3.1. Проверка однородности независимых выборок
- •3.2. Проверка однородности парных наблюдений
2.3. Дисперсионный анализ в материаловедении
Определение фактических коэффициентов однородности механических свойств материала – одна из актуальных задач материаловедения, так как:
его можно рассматривать в виде обобщенного показателя качества производства;
он позволяет установить влияние на качество продукции свойств исходных материалов и способов изготовления продукции, выявить причины колебания качества и устранить их;
по ним можно рассчитать фактическую несущую способность конструкций.
Пример 2.3 [6]. Выполним дисперсионный анализ для определения влияния на прочность бетона в течение месяца недельных режимов работы технологической линии по изготовлению железобетонных изделий. Результаты измерений прочности приведены в таблице 2.12.
Т а б л и ц а 2.12
Результаты измерений прочности бетона
Неделя |
Прочность , МПа | ||||
1 |
22 |
18,5 |
20,1 |
20,4 |
19,7 |
2 |
18,4 |
19,8 |
20,2 |
20,5 |
21 |
3 |
21 |
33 |
18,3 |
19,1 |
20,3 |
4 |
20,4 |
20,5 |
22 |
18 |
19 |
В данной задаче факторами являются недели, в каждой из которых имеется 5 значений прочности. Следовательно, .
Результаты расчета в среде ЭТ приведены в таблице 2.13.
В таблице 2.14 приведена сводка дисперсионного анализа влияния технологического процесса на прочность бетона, полученная с помощью инструмента Однофакторный дисперсионный анализ пакета анализа.
Т а б л и ц а 2.13
Результаты расчета в среде ЭТ
Продолжение таблицы 2.13
Т а б л и ц а 2.14
Дисперсионный анализ влияния технологического
процесса на прочность бетона
Расчетное значение - критерия Фишера
=/=1,775/0,0426=41,6.
Критическое значение - критерия Фишера при.
Так как , то изменение прочности бетона в течение недельного периода работы технологической линии не случайно и технологический процесс требует регулирования (наладки).
Влияние фактора незначимо, так как остаточная дисперсия значительно больше факторной дисперсии.
В практике строительных материалов дисперсионный анализ применяют для того, чтобы установить оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор , который имеетуровнейна изучаемый результативный признак. Например, если требуется выяснить, какая добавка наиболее эффективна для повышения прочности бетона, то фактор- добавка, а его уровни – количество добавки. Если различие между дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на признаки в этом случае средние значения на каждом уровне (групповые средние) различаются также значимо.
Пример 2.4 [1]. Выполним дисперсионный анализ влияния на прочность бетона различного количества добавки.
Результаты измерений прочности приведены в таблице 2.15. Результаты расчета в среде ЭТ представлены в таблице 2.16.
Т а б л и ц а 2.15
Результаты испытаний прочности
Вариант |
Прочность , МПа | |||
Без добавки |
67 |
67 |
55 |
42 |
1-й уровень |
60 |
69 |
50 |
35 |
2-й уровень |
79 |
64 |
81 |
70 |
3-й уровень |
90 |
70 |
79 |
88 |
Т а б л и ц а 2.16
Результаты расчета
Расчетное значение - критерия
=/=702,75/125,458=5,601.
C помощью статистической функции РАСПОБР находим критическое значение- критерия при.. Так как, то влияние добавки на прочность бетона статистически значимо (существенно).
В таблице 2.17 представлена сводка дисперсионного анализа влияния добавки на прочность бетона, полученная с помощью инструмента Однофакторный дисперсионный анализ пакета анализа.
Т а б л и ц а 2.17
Дисперсионный анализ влияния добавки
на прочность бетона
Установлено, что добавка влияет на прочность бетона, т.е. средние значения прочности бетона в вариантах в целом существенно различаются между собой и можно перейти к исследованию влияния на прочность различного количества добавки. Для этого надо сравнить средние значения прочности при различных количествах добавки с прочностью бетона без добавки.
Тогда для бетона с добавкой, соответствующей 3-му уровню, расчетное значение - статистики равно
.
Расчетные значения для остальных вариантов приведены в таблицах 2.16-2.17. Критическое значение - статистики прии. Следовательно, 3-й уровень добавки существенно влияет на прочность бетона, а остальные уровни добавки не значимы.
Пример 2.5 [4]. Оценить значимость влияний отношения цемент:песок (фактор ) и крупности песка (фактор ) на прочность мелкозернистого бетона для армоцемента по данным эксперимента, приведенным в таблице 2.18.
Т а б л и ц а 2.18
Матрица эксперимента
Примечание. Соответствие уровней фактора : 1 - 1:1,6; 2 - 1:2; 3 - 1:2,4; 4 – 1:2,8. Размерность содержания крупных зерен песка, %.
Сводка дисперсионного анализа, полученная с помощью инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений, приведена в таблице 2.19.
Т а б л и ц а 2.19
Дисперсионный анализ влияния факторов
на прочность бетона
Выполним анализ полученных результатов:
расчетное значение - критерия для фактора - крупность песка - равно 38,54. Критическое значение - критерия равно 3,259, т.е. влияние этого фактора существенно;
расчетное значение - критерия для фактора, характеризующего отношение Ц:П, равно 188,95. Критическое значение- критерия равно 3,49, т.е. влияние этого фактора существенно (примерно в 5 раз сильнее фактора - крупность песка);
первый уровень фактора (Ц:П=1:1,6) обеспечивает получение среднего значения прочности 69 МПа и дисперсию 34 МПа2 – это лучшие показатели из всех отношений;
четвертый уровень фактора (45%) обеспечивает получение среднего значения прочности 61,5 МПа и дисперсию 97,6 МПа2 – это лучшие показатели из всех % - х содержаний крупных зерен в песке.
Пример 2.6 [3]. Выполнить проверку однородности дисперсий ошибок измерений прочности бетона после пропарки по 10 – ти ежедневным партиям из трех образцов.
Результаты испытаний и расчета в среде ЭТ представлены в таблице 2.20.
Т а б л и ц а 2.20
Результаты расчета в среде ЭТ
Продолжение таблицы 2.20
Продолжение таблицы 2.20
Сводка данных дисперсионного анализа представлена в таблице 2.21.
Т а б л и ц а 2.21
Дисперсионный анализ влияния времени на прочность бетона
Анализ результатов расчета:
расчетное значение критерия Кохрена равно =0,118, критическое значение=0,445 при=0,05 и=0,536 при=0,01, т.е.<и отвергать гипотезу об однородности дисперсий ошибок измерений нет причин;
расчетное значение - критерия равно=36,27, критическое значение=2,393, т.е.>и, следовательно, влияние времени на прочность бетона при постоянных материалах на данном заводе статистически значимо, причем больше ошибки измерения его прочности.
Пример 2.7 [4]. Исследовать влияние на коэффициент однородности бетона марки цемента, типа заполнителя, срока испытанийи «периода изготовления» бетона. План эксперимента представлен в таблице 2.22.
Т а б л и ц а 2.22
Матрица эксперимента
В таблице 2.22 заполнители: - гравий речной;- щебень гранитный;- щебень известняковый.
Вначале исследуем влияние на коэффициент однородности бетона типа заполнителя (фактор ) и «периода изготовления» бетона (фактор). Для этого выполним двухфакторный дисперсионный анализ без повторений первой выборки из таблицы 2.22.
Сводка дисперсионного анализа представлена в таблице 2.23.
Т а б л и ц а 2.23
Дисперсионный анализ влияния типа заполнителя
и «периода изготовления» бетона
Анализ таблицы 2.23 показывает, что расчетные значения - критерия для этих факторов меньше критических значений. Следовательно, тип заполнителя и «период изготовления» не оказывают существенного влияния на коэффициент однородности бетона при испытании образцов через 1 сутки. Аналогичные результаты получены и для второй выборки таблицы 2.22.
Исследуем влияние на коэффициент однородности бетона срока испытаний и марки цемента с помощью инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями пакета анализа.
Для этого выполним двухфакторный дисперсионный анализ двух выборок, одна из которых содержит первую и вторую выборки таблицы 2.22 (марка цемента 400), вторая – третью и четвертую выборки (марка цемента 500). Сводка дисперсионного анализа представлена в таблицах 2.24 и 2.25.
Т а б л и ц а 2.24
Дисперсионный анализ влияния срока испытаний
Т а б л и ц а 2.25
Дисперсионный анализ влияния срока испытаний
Для цемента марки 400 существенное влияние на коэффициент однородности бетона оказывает срок испытания и практически не влияет «период изготовления». Взаимодействие этих факторов статистически незначимо.
Для марки цемента 500 наблюдается обратная картина: срок испытания не оказывает существенного влияния на коэффициент однородности и заметное влияние оказывает «период изготовления». Взаимодействие этих факторов статистически незначимо.
Для анализа влияния на коэффициент однородности бетона марки цемента из таблицы 2.22 сформированы таблицы 2.26 и 2.27.
Т а б л и ц а 2.26
Информация для анализа влияния основных факторов
и марки цемента
Т а б л и ц а 2.27
Информация для анализа влияния основных факторов
и марки цемента
Т а б л и ц а 2.28
Дисперсионный анализ влияния марки цемента
Т а б л и ц а 2.29
Дисперсионный анализ влияния марки цемента
При испытании образцов бетона через 28 суток существенное влияние на коэффициент однородности оказывает марка цемента, не влияют «периоды изготовления» бетона и их взаимодействие. При испытании образцов бетона через сутки существенное влияние на коэффициент однородности оказывают марка цемента и «периоды изготовления» и не оказывает влияние их взаимодействие.
Сводка дисперсионного анализа всех выборок таблицы 2.22 представлена в таблице 2.30.
Как следует из таблицы 2.30, наиболее значимыми факторами являются марка цемента, срок испытания, «период изготовления» бетона и незначимо их взаимодействие.
Среднее значение коэффициента однородности бетона уменьшается с изменением марки цемента: =0,757 и=0,612 при испытании через сутки;=0,952 и=0,715 при испытании через 28 суток, т.е. с увеличением возраста бетона коэффициент однородности увеличивается, что объясняется стабилизацией структурообразования и снятием термических напряжений.
Т а б л и ц а 2.30
Общий дисперсионный анализ выборок
Следовательно, с помощью инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями можно проводить многофакторный дисперсионный анализ.