Розділ іі Лекція 1

МАТЕМАТИЧНІ ПОНЯТТЯ. МЕТОДИЧНІ ВИМОГИ ДО СИСТЕМ ВПРАВ, СПРЯМОВАНИХ НА ФОРМУВАННЯ ПОНЯТЬ

1.1. Математичні поняття

Поняття - це форма наукового пізнання яка відображає істотне у вивчених об'єктах і закріплюється спеціальними термінами. Математичні поняття відображають у нашій свідомості кількісні співвідношення та просторові форми дійсності, абстраговані від реальних ситуацій.

Кожне поняття характеризується змістом та об'ємом.

Зміст поняття - це множина його істотних ознак. Ці ознаки вказуються в означенні або розкриваються на прикладах. Об'єм поняття - це множина предметів, які об'єднуються цим поняттям.

Наприклад, зміст поняття „паралелограм" це сукупність таких ознак:

1. чотирикутник;

2. протилежні сторони паралельні;

3. протилежні кути рівні;

4. протилежні сторони рівні;

5. діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, і т.д.

Об'єм поняття „паралелограм" складається з усіх поданих паралелограмів.

Міцне засвоєння змісту поняття створює умови для усвідомленого розуміння переказу теорії та розв'язування задач. Наприклад, якщо учень знає, що таке система рівнянь, що таке розв'язок системи двох рівнянь з двома змінними, що значить розв'язати систему рівнянь, то він в цілому чітко розуміє основні етапи розв'язання системи рівнянь з двома змінними. Йому залишається вибрати спосіб її розв'язання. В той же час прогалини в знаннях хоча б в одному кільці з вказаної системи понять можуть визвати у учня непереборні труднощі.

Часто учні не можуть довести до кінця рішення навіть простої задачі, не засвоїли зміст деяких простих понять.

Означення являються одним з основних видів математичних тверджень.

Означеннням називають речення, в якому в мовній або символічній формі перелічуються загальні суттєві властивості, тобто розкривається зміст поняття.

Процес означення математичних понять - це процес зведення означуваного поняття до другого, з більш широким обсягом, другого - до третього з ще ширшим обсягом і т. д. Оскільки такий процес не може бути нескінченним, виникає потреба у первісних поняттях, яким не дається означення.

У шкільному курсі математики до таких понять належать поняття: натуральне число, множина, точка, пряма, площина, відношення «належати», «лежить між», довжини відрізка, градусної міри кута.

Перерахувати істотні ознаки поняття, часто буває складно, що можна спростувати, якщо опиратися на поняття раніше означувані. Такий спосіб означення поняття називається означенням поняття через рід та видову відмінність: в означенні спочатку вказується рід, в який означуване поняття входить як вид, а потім вказуються ті ознаки, які відрізняють це поняття від останніх видів роду.

Структура означення поняття через рід та видову відмінність може бути символічно записана так: А=В+С, де А - означуване поняття, В родове поняття,С- видова відмінність.

Наприклад: «Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні кути рівні».

Крім означення поняття через рід та видову відмінність, в математиці широко використовуються генетичні означення.

Наприклад, „Фігура, отримана в результаті оберту прямокутного трикутника навколо одного з катетів називається конусом".

Ще один спосіб означення шляхом переліку: ,,R - числа раціональні та ірраціональні”.

Означення як умовні узгодження, ніякі означення не доводяться, можна говорити лише про доцільність цих тверджень. Наприклад: .

Означення через абстракцію та через аксіоми. До такого способу означення звертаються в тих випадках, коли означення за допомогою роду та видової відмінності важко зробити. Це стосується означення найширших родових понять. При цьому методі означення заздалегідь розглядається різноманітніші класи об'єктів, які попадають під означуване поняття й кожен раз звертаємося до того спільного, що є в усіх цих класах.

Сукупність встановлених при цьому спільних ознак об'єднують одною спільною назвою. Таким чином формується нове поняття.