1.2. Вимоги до означення понять:

1) Означення повинно бути відповідним, тобто об'єми означуваного та визначеного понять повинні бути рівними.

Наприклад: „Квадратом називається рівносторонній прямокутник". Порушення правила відповідності призводить до помилок: або до дуже широких, або до дуже вузьких означень.

Наприклад: „Паралелограмом називається многокутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні".

2) Означення не повинно містити порочного кола, тобто як означуване не можна брати поняття, яке визначається за допомогою означуваного поняття.

Наприклад:

Вірне означення: „Прямим кутом називається кут, рівний 90°".

Й означення яке містить порочне коло: „Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні". А поняття перпендикулярних прямих визначалося раніше через прямий кут.

3) Означення не повинно бути суперечливим.

Означення повинно вказувати ознаки, властиві поняттю, а не ознаки, якого в нього немає.

Наприклад: „Дві прямі в просторі називаються перехресними, якщо вони не перетинаються і не паралельні".

Й суперечливе означення: „Паралелограм не трапеція".

4) Означення повинно бути чітким, щоб не припустити неоднозначності. В означенні: „Подібними фігурами називають фігури, які мають однакову форму" - поняття форма само по собі потребує точного математичного означення. В цьому означенні немає чіткості та його можна розглядати як зоровий опис поняття подібності.

Кожне поняття нерозривно пов'язано з усіма останніми. Це найбільш явно відображено в математиці.

Засвоєння відношень між поняттями полегшує засвоєння учнями істотних властивостей видових понять, означення понять через рід та видову відмінність.

Два поняття називають порівняними, якщо в їх змісті є спільні ознаки.

Порівняні поняття прийнято поділяти на дві категорії:

• сумісні поняття; - несумісні поняття.

Сумісними називаються поняття, об'єми яких повністю або частково співпадають. Наприклад: цілі додатні числа - натуральні числа.

Якщо об'єми понять ні в якої своєї частині не співпадають, то такі поняття називаються несумісними. Наприклад: раціональні числа - ірраціональні числа;

Між сумісними поняттями можуть існувати такі відношення:

1) відношення тотожності Наприклад: найбільша хорда - хорда, яка проходить через центр - діаметр;

2) Відношення часткового співпадання

Наприклад: прямокутник - ромб /їх спільна частина - квадрат/;

3) відношення підрядності

Наприклад:

• прості числа - натуральні числа;

• пряма призма - призма.

Розглянемо ці види відношень між поняттями.

1.2.1. Відношення тотожності

У такому відношенні знаходяться поняття, об'єми яких повністю співпадають, самі поняття називаються тотожними або рівнозначними.

Учні часто ототожнюють зовсім нерівнозначні поняття, об'єми яких не співпадають.

Наприклад:

• коло - круг;

• число - цифра.

За допомогою кругів Ейлера відношення між тотожними поняттями будуть зображатися двома співпадаючими кругами (рис.1.1).

1.2.2. Відношення часткового співпадання

Зобразимо кругами (рис. 1.2.) поняття „цілі числа" й „від'ємні числа". Круги ділять площину на 4 частини. Точки першої частини представляють цілі невід' ємні числа. Точки другої частини - цілі від' ємні числа. Третьої -дробові та ірраціональні. Четвертої - останні об' єкти, які не являються ні цілими, ні від' ємними. Таке відношення між поняттями називають відношенням часткового співпадання об'ємів, а самі поняття, об'єми яких частково співпадають, називаються перехресними.

1.2.3. Відношення підрядності

Розглянемо спочатку приклад (рис. 1.3.). Зобразимо кругами Ейлера поняття „раціональні функції" та „елементарні функції". Круги, зображені на малюнку ділять площину на 3 частини. Точки першої частини представляють раціональні функції, точки другої - елементарні функції, які не є раціональними; точки третьої частини – об'єкти, які не є елементарними функціями.

Таке відношення між поняттями, як, в прикладі, називається відношенням підрядності. Отже, одне поняття називається підрядним іншому, якщо об'єм першого поняття входить як частина в об'єм другого поняття. Перше поняття називається видовим, а друге родовим.

Між несумісними поняттями можуть бути такі відношення:

1. відношення супідрядності;

2. відношення протиріччя;

3. відношення протилежності.