1.2.4.Відношення супідрядності

У випадку, коли одному родовому поняттю, підкорено декілька близьких видових понять, які не перетинаються, кажуть, що останні знаходяться у відношенні супідрядності.

Наприклад: „паралельні прямі - прямі що перетинаються".

Відношення між супідрядними поняттями показано на рис. 1.4.

1.2.5. Відношення протиріччя

У відношенні протиріччя знаходяться поняття, які суперечать один одному, наприклад: „рівні трикутники", „парні числа" та „непарні числа". Такі поняття називаються суперечливими.

Суперечливі поняття не тільки виключають один одного (у понятті об'єму та змісту), об'єми таких понять вичерпують усю множину предметів, про які йде мова.

Знання залежності між суперечливими поняттями важливе при доведенні способом від супротивного, а також при розгляді та формулюванні суперечливих теорій.

Відношення між суперечними поняттями показано на рис. 1.5.

1.2.6. Відношення протилежності

У відношенні протиріччя знаходяться поняття: „додатні числа" та „від' ємні числа", „гострий кут" та „тупий кут", „більше" та „менше".

Поняття, які знаходяться у відношенні протилежності називаються протилежними. Між поняттями завжди існують поняття, які являються проміжними. Між поняттями „гострий кут" та „тупий кут" існує поняття „прямий кут".

Відношення між протилежними поняттями показано на рис. 1.6.

1.3. Методичні вимоги до системи вправ направленої на формування понять

У працях психологів та дидактиків обґрунтовується наступна послідовність у навчанні понять: сприйняття - уявлення - поняття.

Важливою умовою створення поняття являються узагальнення та сприйняття.

Поняття виникає як результат узагальнення достатнього числа сприйняття та уявлень.

Отже, введенню понять повинна передувати спеціальна підготовча робота. Як вказує М.Р. Лєонтєва та С.Б. Суворова: „Через систему вправ повинна здійснюватися робота, направлена на формування наглядових образів та конкретних уявлень, на основі яких може бути введено нове поняття".

Наприклад, гарною підготовкою для введення поняття графіка функції, для перетворення навичок їх „читання" створюють вправи, в яких учням доводиться мати справу з „емпіричними" графіками. Такі вправи формують у учнів змістовні уявлення, на основі яких буде легко ввести поняття графіка довільної числової функції. Вправи можуть бути такими:

1) На малюнку зображено графік зміни температури в продовж доби. Кожному моменту часу відповідає цілком визначена температура. Використовуючи графік від поведіть на питання:

а) яка температура повітря була в 5, в 12, в 18 годин?

б) в який час температура повітря була рівна -2, 0, 4?

в) вкажіть саму низьку та саму високу температуру повітря за добу. Якому моменту часу відповідає сама висока температура?

2) В які проміжки часу температура збільшувалася; знижувалася; була від' ємною?

Крім цього вказується й така вимога: „система вправ повинна сприяти засвоєнню терміна, символу, означення, створення правильного співвідношення між внутрішнім змістом поняття та його зовнішнім виразом, формуванню правильних уявлень про об'єм поняття".

Наприклад, при вивченні десяткового логарифма дуже важливими являються вправи, ціль яких - усвідомлення та запам'ятовування означення, оволодіння новим терміном та новим символом. Можуть бути такі вправи:

1. 2 є показник ступеня, в який необхідно піднести число 10, щоб отримати 100; так як 100=10² , то lg100 = 2.

Роз'ясніть за зразком зміст виразу і знайдіть його значення:

а)lg1000000; б) lg0,0001; в)lg10

2) Поясніть, чому вираз lg(-1000) не має змісту.

Оволодіти поняттям значить знати ознаки предметів та явищ, які охоплюються цим поняттям, та вміти застосовувати поняття на практиці вміти розв'язувати задачі. Необхідно також усвідомлене відношення до поняття як до основи для розв'язування задач. Тому система вправ повинна задовольняти вимогу: через систему вправ необхідно формувати усвідомлене вміння застосовувати поняття в простих, але достатньо характерних ситуаціях.

Наприклад, вправи які сприяють виробленню вміння застосовувати поняття графіка функції в простіших ситуаціях:

1. Вичислити координати будь-яких десяти точок графіка функції у = х(х-4) й відмітити ці точки в координатній площині.

2. Чи належать точки А(0; 7), В(1; -4), С(-1; -4) та Д(3; 2) графіку функції, заданої формули у = 3х-7? Назвіть координати ще будь-яких двох точок, одна з яких належить графіку функції, а інша не належить.

3) Побудуйте графік функції, заданої формулою: а) у = 2х-3; б)у= 1-х; в) у = х²-3

Засвоєння неможливе без утворення системи зв'язку між поняттями. Тому через систему вправ повинно здійснюватися включення понять в різні зв'язки та логічне відношення з іншими поняттями.

Приведемо приклади вправ з різних розділів курсу алгебри, в яких знаходять використання графічні уявлення учнів.

1. Побудувати графік функції y=та у = х-2, знайдіть корінь рівняння

= x-2.

2. Розв'яжіть графічно систему рівнянь:

3. Використовуючи графічне зображення розв'яжіть нерівність:

4. Користуючись графіком квадратичної функції, знайдіть значення змінної х, при якому:

При побудові систем вправ, направленої на формування деякого конкретного поняття, не всі сформульовані методичні вимоги повинні реалізуватися в одноковій мірі. Це пов'язано з тим, що методика навчання понять неоднакова. Одні поняття вводяться шляхом означення, для інших вказується термін і даються деякі пояснення.

Ступень реалізації вимог до систем вправ залежить від ролі та місця поняття, від способу його введення, від вимог до знань учнів по засвоєнню цього поняття.

Виходячи з вимог до систем вправ в ній повинні міститися слідуючи типи задач:

1. підготовчі задачі (з метою актуалізації опорних знань);

2. задачі на розпізнання (створення образу);

3. задачі на обробку терміна, символів, означення.

4. задачі на застосування понять в простіших стандартних ситуаціях;

5. вправи на формування прийому підведення під поняття;

6. вправи які розкривають зв'язок даного поняття з іншим.

Питання для самоконтролю:

1. Що називається поняттям?

2. Охарактеризувати обсяг і зміст поняття, їх залежність.

3. Навести приклади видових і родових понять.

4. Що називається систематизацією і класифікацією математичних понять?

5. Вимоги до означення.

Самостійна робота

Розглянути питання: Первісні поняття в шкільному курсі математики.