Единичная ступенчатая функция

При использовании принципа суперпозиции в качестве элементарного сигнала стандартной формы обычно используют единичный сигнал или сигнал включения (единичная ступенчатая функция, функция Хевисайда, функция включения).

Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда) называется функция , которая в момент времениизменяется скачком от нулевого уровня до значения, равного единице (рис. 13.4,а):

(13.1)

Функция не имеет размерности или, как говорят, имеет нулевую размерность. Смещенную вправо или влево по оси времени на отрезокот оси ординат. Функцию Хевисайда называют соответственнозапаздывающей или опережающей (рис. 13.4, б, в)

Рис. 13.4.

и записывают в виде:

или

Свойство функции

Функция обладает свойством отсечки, т.е. умножение любой функциина функциютождественно обращает функциюв нуль, при, и сохраняет ее значения, при.

Свойство отсечки единичной ступенчатой функции позволяет математически описать во времени звуковой сигнал, воздействия которого на электрическую цепь начинаются в некоторый момент времени. Например, если при цепь подключается к источнику постоянной ЭДС, то произведениеназывается ЭДС включения (рис. 13.5).

Рис. 13.5.

где – высота ступеньки.

Умножение же любой функции , например,, на запаздывающую ступенчатую функциюотсекает (обращает в нуль) все ее значения, прии сохраняет все ее значения, при(рис. 13.6), т.е.

Рис. 13.6.

Замечание. Поскольку практически все сигналы, воздействующие на электрическую цепь, возникают в определенный момент времени, то выражения, описывающие эти сигналы, строго говоря, должны содержать сомножитель . Однако, в целях упрощения записи единичную функцию часто опускают.

Рис. 13.7.

С помощью сложения двух ступенчатых функций можно получить выражение для прямоугольного импульса длительностью (рис. 13.7)

Операторные изображения функций ипо Лапласу имеют вид:

Единичная импульсная функция (функция Дирана)

Единичное идеализированное импульсное воздействие произвольной формы с неограниченной амплитудой и бесконечно малой длительностью (рис. 13.8,а) называется дельта-функцией ()Дирана; она задается уравнением:

(13.2)

Рис. 13.8.

смещенную вправо или влево по оси времени на отрезок от оси ординат функцию Дирана называют соответственнозапаздывающей или

опережающей (рис. 13.8, б, в) и записывают в виде:

или

Механический аналог функции Дирана – мощный удар, мгновенный толчок. Электрический аналог – импульс с очень большой амплитудой и очень малой длительностью, которая значительно меньше наименьшей постоянной времени цепи.

Свойства функции

1. Площадь функции илиравна единице.

Действительно, функции соответствует импульс с амплитудой и длительностью, при(рис. 13.9).

Рис. 13.9.

Площадь импульсов одна и та же, и равна. Следовательно

(13.3)

Аналогично

2. Из выражения (13.3) следует, что единичная импульсная функция является производной по времени единичной ступенчатой функции:

(13.4)

3. Дельта-функция обладает фильтрующим свойством или свойством выборки.

Пусть имеем функцию (рис. 13.10). Произведениене равно

Рис. 13.10.

нулю только при , т.е.:, а интеграл

.

Произведение (см.рис. 13.9) не равно нулю только при, а интеграл:

Следовательно, умножая функцию на, мы как бы выбираем из множества значений функциитолько одно ее значение, соответствующее времени.

Заметим, что имеет размерность, обратную времени.

4. Операторное изображение по Лапласу:

.