МатСтат задачі

Обчислити вибіркове середнє та виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення. Чи сильно відрізнятимуться між собою значення V та

V?

< • ^ i :hx \ |3,23• ^ кгv ; V |0,61 кг.

2.10.Щомісячні процентні нарахування (грн.) по депозитних рахунках для випадково відібраних 1000 клієнтів банку наведені в таблиці:

zi 1 zi	0 –200	200 – 400	400 – 600	600 – 800	800 – 1000
ni (чол.)	500	250	125	90	35

На основі цих даних оцінити середні щомісячні нарахування в цьому банку. Знайти оцінку для середнього квадратичного відхилення ознаки генеральної сукупності.

< d Z a: для• \спрощенняd Z розрахунків перевести грн. в тис. грн.

< • ^ i :h282\ грн• ^.; v |227 грн.

2.11.В умовах завдання 2.1 з метою уточнення оцінок середнього та дисперсії було додатково проведено ще 15 вимірювань твердості інших навмання ві-

дібраних зразків легованої сталі з тієї ж партії і отримано такі оцінки:

x 11,8	2
	; V 0,9 .
2	2

Знайти оцінки середнього та дисперсії за об’єднаною вибіркою.

< • ^ i :hx \ 12,16• ^ v; V2 |0,907 .

2.12.В умовах завдання 2.9 з метою уточнення оцінок середнього значення та середньоквадратичного відхилення в генеральній сукупності було додатково відібрано ще 200 новонароджених, середня вага яких виявилась рівною 3,31 кг, а виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення – 0,66 кг.

Знайти оцінки середнього значення та середнього квадратичного відхилення за об’єднаною вибіркою.

< • ^ i :hx \ |3,28• ^ кгv ; V |0,64 кг.

2.13.Ознака [ генеральної сукупності розподілена рівномірно на проміжкуa; b >. Вважаючи@ a та b невідомими параметрами, знайти на основі вибірки x1 , x2 , ..., xn їх оцінки за методом моментів.

< • ^ i :ha*\ •x ^ vV 3 , b* x V 3 . 2.14. Ознака [ генеральної сукупності розподілена за показниковим законом із параметром , точне значення якого невідоме. Потрібно на основі вибірки x1 , x2 , ..., xn знайти оцінку цього параметра за методом максимальної прав-

доподібності.

* 1

< • ^ i :hO\ • ^. v x

10

J H A 3>. 11EG L ? J < : E HV PG 1? G X < : GI G: YJ : F ? L J 1 <J H A I H > 1 E M

3.1.Знайти довірчий інтервал із надійністю J 0,95 для математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності, якщо її середнє квадратичне відхилення відоме: V 1, вибіркове середнє x 0,05 , а обсяг вибірки n 36 .

< • ^ i :h 0,28\ • ^av 0,38 .

3.2.Нехай довірчий рівень J 0,95 , середньоквадратичне відхилення нормально розподіленої генеральної сукупності відоме і дорівнює 3,5, вибіркове середнє x 10 , а обсяг вибірки n 40.

Знайти інтервальну оцінку математичного сподівання a цієї генеральної сукупності. Як зміниться відповідь, якщо за тих же умов довірчий рівень дорівнюватиме J 0,99 ?

< • ^ i :h8,92\ • a^ v11,08 ; 8,57 a 11,43.

3.3.На гуртівню завозять ящики з товаром, відхилення маси яких від норми (10 кг) не повинні перевищувати V 0,05 кг. Випадковим чином відібрали

n 25 ящиків і зважили їх – середня маса одного ящика виявилася 9,75 кг. Записати довірчий інтервал для середньої маси a одного ящика в генеральній сукупності за довірчого рівня J 0,95 . Вважати, що маса ящика –

випадкова величина, розподілена за нормальним законом.

< • ^ i :h9,73\ • a^ v9,77 .

3.4.Для визначення середньої врожайності посівів озимої пшениці було відібрано навмання 20 фермерських господарств. Виявилось, що середня врожайність у відібраних господарствах x 33 ц/га, а виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення V 6 ц/га.

Вважаючи, що врожайність озимої пшениці – нормально розподілена випадкова величина, оцінити її середнє значення за допомогою довірчого інтервалу для рівня значущості D 0,02 .

< • ^ i :h29,6\ • ^a v36,4 .

3.5.За допомогою довірчого інтервалу оцінити математичне сподівання a генеральної сукупності на основі заданої вибірки обсягу n 20, якщо довір-

чий рівень J 0,99 : 1,9; 2,5; 3,0; 3,3; 3,7; 4,0; 5,1; 5,4; 5,7; 5,9; 6,1; 6,2; 6,4; 6,5; 7,3; 7,8; 8,9; 9,9; 10,2; 10,6. Вважати, що генеральна сукупність розподілена нормально.

< • ^ i :h4,39\ • ^a v7,65.

11

3.6.Із метою наближеного визначення середньої солоності води в одному з озер на півдні України було відібрано 20 проб води і отримано такі дані (в ‰): 45, 21, 33, 43, 40, 42, 56, 36, 18, 30, 45, 50, 41, 31, 49, 41, 52, 36, 47, 40.

За допомогою довірчого інтервалу з надійністю J 0,95 оцінити математичне сподівання a генеральної сукупності на основі заданої вибірки, припускаючи, що ознака генеральної сукупності розподілена нормально.

< • ^ i :h35,25\ • ^av 44,35 .

3.7.Для інтервальної оцінки середнього вмісту гумусу (%) у верхньому шарі ґрунту українських звичайних чорноземів було відібрано 15 проб і отрима-

но такі результати: 4,6; 5,2; 4,2; 6,0; 5,1; 5,0; 5,2; 5,8; 5,4; 5,8; 4,6; 4,2; 4,6; 4,7; 5,3.

Припускаючи, що генеральна сукупність розподілена нормально, записати довірчий інтервал для її математичного сподівання, якщо задано рівень значущості D 0,05 .

< • ^ i :h4,74\ • ^a v5,36 .

3.8.За допомогою довірчого інтервалу оцінити математичне сподівання a генеральної сукупності на основі заданої згрупованої вибірки обсягу n 25, якщо довірчий рівень J 0,95 :

	xi	3	4	5	6	7	.
	ni	2	5	11	6	1

Вважати, що генеральна сукупність розподілена нормально.

Як зміниться відповідь на поставлене завдання, якщо рівень надійно-

сті J 0,99 ?

< • ^ i :h4,56\ • ^a v5,36 ; 4,41 a 5,51.

3.9.На основі вибірки обсягу n 25, заданої у вигляді інтервального статистичного ряду, знайти інтервальну оцінку математичного сподівання, якщо довірчий рівень J 0,95 (вважати, що генеральна сукупність розподілена нормально):

	[zi 1; zi )	[ 10; 5)	[ 5; 0)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15]	.
	ni	3	5	9	6	2

< • ^ i :h 0,04\ • ^av 4,64.

3.10.Результати досліджень періоду оборотності оборотних засобів 30 торговельних фірм міста (в днях) наведено в інтервальній таблиці частот:

Період	14 –	20	20 –	26	26 – 32	32 –	38	38 –	44	44 –	50
оборотності												.
Число фірм	1		4		10	8		5		2

12

За рівня довіри J 0,95 записати довірчий інтервал для середнього періоду оборотності на фірмі, вважаючи, що ця величина в генеральній сукупності розподілена нормально.

< • ^ i :h29,9\ • ^a v35,3.

3.11.На основі вибірки обсягу n 20, заданої у вигляді інтервального статистичного ряду, знайти інтервальну оцінку дисперсії V2 , якщо довірчий рівень J 0,99 (вважати, що генеральна сукупність розподілена нормально з математичним сподіванням a 1):

[zi 1; zi )	[0,5; 0,7)	[0,7; 0,9)	[0,9; 1,1)	[1,1; 1,3)	[1,3; 1,5)	[1,5; 1,7]	.
ni	1	3	4	7	3	2
						2		.
				< • ^ i :h0,044\ • ^ Vv 0,237

3.12.Пачки з насінням рослини поскладано в ящики і на кожній пачці зазначено час його проростання – 3 дні (72 год.). Навмання було відібрано 30 насінин, час їх проростання (в год.) наведено в інтервальній таблиці частот:

	[zi 1; zi )	[67; 69)	[69; 71)	[71; 73)	[73; 75)	[75; 77)	[77; 79]	.
	ni	1	3	6	12	7	1

Вважаючи, що генеральна сукупність розподілена нормально, для рівня значущості D 0,05 записати довірчий інтервал для середньоквадратичного відхилення генеральної сукупності.

< • ^ i :h2,18\ • V^ v3,65.

3.13.На основі вибірки обсягу n 20, заданої у вигляді інтервального статистичного ряду, знайти інтервальну оцінку дисперсії V2 , якщо довірчий рівень J 0,95 (вважати, що генеральна сукупність розподілена нормально):

[zi 1; zi )	[0,0; 0,5)	[0,5; 1,0)	[1,0; 1,5)	[1,5; 2,0)	[2,0; 2,5)	[2,5; 3,0]	.
ni	1	3	4	7	3	2
						2		.
				< • ^ i :h0,26\ • V^ v 0,96

3.14.Знайти незміщену точкову та інтервальну оцінку дисперсії генеральної сукупності за рівня значущості D 0,05 , якщо вибірку задано у вигляді згрупованого ряду частот (вважати, що ознака генеральної сукупності розподілена нормально):

	xi	1	2	3	4	5	6	.
	ni	2	5	7	4	1	1
				13

< • ^ i :hV\2 •|1,58^ v; 0,91 V2 3,37 .

3.15.Оцінити за допомогою довірчого інтервалу середньоквадратичне відхилення ознаки генеральної сукупності на основі заданої вибірки: 2,3; 2,5;

2,5; 2,6; 2,8; 3,0; 3,0; 3,3; 3,5; 3,7. Вважати, що рівень значущості

D 0,05 , а генеральна сукупність розподілена за нормальним законом.

< • ^ i :h0,32\ • V^ v 0,85 .

3.16.В інтервальній таблиці задано вміст (%) парафінів у 20 навмання відібраних зразках фракцій нафтового родовища:

	[zi 1; zi )	[46; 48)	[48; 50)	[50; 52)	[52; 54)	[54; 56]	.
	ni	1	3	8	5	3

Вважаючи, що генеральна сукупність розподілена нормально, оцінити дисперсію процентного вмісту парафінів у нафті цього родовища, якщо довірчий рівень J 0,9 .

< • ^ i :h2,95\ • V^ 2v 8,77 . 3.17. а) Для знаходження інтервальної оцінки середнього значення з генеральної

сукупності відібрали вибірку обсягом n1 20 і виявилося, що для неї

x 10,	V 0,4. За довірчого рівня J 0,99	записати довірчий інтервал
1	1

для математичного сподівання, якщо відомо, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом.

б) Для уточнення знайденої оцінки повторно сформували іншу вибірку

обсягом n	25	, і для неї x 9,8	; V 0,3. Записати довірчий інтервал для
2		2	2

середнього значення генеральної сукупності на основі об’єднаної вибірки. в) Порівняти довірчі інтервали, знайдені в пунктах а) та б).

< • ^ i :hа)\9,74• ^ Vv 10,26 ; б) 9,75 V 10,03. 3.18. Для уточнення оцінки математичного сподівання за умови завдання 3.9 бу-

ло відібрано ще одну вибірку обсягом n	30	, для якої x 2,0	; V 5,8 .
2		2	2

Записати інтервальну оцінку середнього значення генеральної ознаки на основі об’єднаної вибірки. Порівняти результати.

< • ^ i :h0,58\ • ^a v3,69 . 3.19. Виходячи з умови завдання 3.6, відібрали ще 10 проб води і отримали такі

вибіркові характеристики: x 40,1; V2 95,1.

Записати уточнену інтервальну оцінку середнього значення в генеральній сукупності на основі об’єднаної вибірки. Порівняти отриманий результат із попереднім.

< • ^ i :h36,25\ • ^av 43,55.

14

3.20. Із двох незалежних нормально розподілених генеральних сукупностей з ві-

домими середньоквадратичними відхиленнями, відповідно				V 1,6 та
				1
V 1,8 , було відібрано вибірки обсягів n n			20 , для яких вибіркові се-
2	1	2
редні виявились рівними x1 8 та x2 9 .
Записати для довірчого рівня	J 0,95		інтервальну оцінку різниці

a1 a2 математичних сподівань. Чи є відмінність між середніми значеннями в генеральних сукупностях значущою?

< • ^ i h: 2,06\ • ^ va a	2	0,06 ; відмінність
1

між середніми незначуща. 3.21. Із двох незалежних нормально розподілених генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями було відібрано вибірки обсягів n1 n2 21, для яких

вибіркові середні виявились рівними x1 8 та x2 9,5 , а виправлені вибір-
кові середньоквадратичні відхилення – V 1,6 та V 1,8 .
1	2
Записати для довірчого рівня J 0,95	інтервальну оцінку різниці

a1 a2 математичних сподівань. Чи є відмінність між середніми значеннями в генеральних сукупностях значущою?

< • ^ i h: 2,56\ • ^ va a	2	0,44 ; відмінність
1

між середніми значуща.

3.22.Імовірність появи деякої події A в кожному з незалежних випробувань у генеральній сукупності – однакова і невідома. Випадковим чином відібрано n випробувань, і виявилося, що в m із них подія A відбулась.

Знайти точкову оцінку p* ймовірності p настання цієї події в генеральній сукупності, а також довірчі межі для p з надійністю J 0,95 (скористатися апроксимацією біноміального розподілу нормальним), якщо:

а) m 270 , n 360 ; б) m 250 , n 400.

< • ^ i h \ •: а) p* ^ v0,75; 0,71 p 0,79 ;

б) p* 0,625; 0,578 p 0,672 .

3.23.Із генеральної сукупності було відібрано 2500 осіб, які повинні були відповісти на запитання “Чи підтримуєте Ви політику уряду?” Із них 1600 відповіли на це питання позитивно.

Використовуючи апроксимацію біноміального закону нормальним, знайти (у %) довірчі межі для частки тих осіб у генеральній сукупності, які підтримують політику уряду, якщо рівень довіри J 0,95 .

< • ^ i h \ • ^: 62,12% vp 65,88% .

15

3.24.Навмання відібраним 400 студентам вузу поставили запитання: “Чи вважаєте Ви, що дистанційне навчання є ефективним при здобутті вищої освіти?” Із них 304 відповіли “так”, решта – “ні”.

Використовуючи наближення біноміального закону розподілу нормальним, за рівня значущості D 0,02 знайти інтервальну оцінку частки студентів у генеральній сукупності, які вважають дистанційне навчання ефективним для здобуття вищої освіти.

< • ^ i h \ • ^ v: 0,71 p 0,81.

3.25.Із генеральної сукупності насінин навмання відібрали 450 для перевірки їх на морозостійкість. Виявилося, що 126 із них витримали низькі температури.

Записати з надійністю J 0,99 довірчий інтервал для частки таких насінин у генеральній сукупності, використовуючи апроксимацію біноміального закону розподілу нормальним.

< • ^ i h \ • ^ v: 0,225 p 0,335 .

3.26.Генеральну сукупність утворюють студенти деякого вузу. Із них навмання

відібрали вибірку обсягом n 400, і фіксується середній бал xi , i 1, 400 , студентів, які потрапили у вибірку. Виявилось, що x 3,76 .

Вважаючи, що ознака генеральної сукупності [ {середній бал студента} розподілена за законом Пуассона з невідомим параметром O, за рівня значущості D 0,05 знайти довірчий інтервал для цього параметра, використовуючи апроксимацію пуассонівського закону розподілу нормальним.

< • ^ i h \ • ^ v: 3,57 O 3,95 .

J H A 4>. 1I E? J ? < 1 JKDL :: L B K L B Q=G1BI OH L ? A

4.1.Із нормально розподіленої генеральної сукупності з середньоквадратичним відхиленням V 5 відібрано випадкову вибірку обсягом n 25, для якої вибіркове середнє x 28,5.

Перевірити гіпотезу H0 : a 30 для рівня значущості D 0,05 , якщо альтернативна гіпотеза має вигляд: а) H1 : a z30; б) H1 : a 30 .

< • ^ i h \ • ^: а) z	v 1,5	; z	1,96 ; гіпотеза H	0	приймається;
спост.		кр.
б) zспост. 1,5			1,65; гіпотеза! H0		приймається.

4.2.Нехай [ – нормально розподілена випадкова величина із невідомим математичним сподіванням a та відомим середньоквадратичним відхиленням V 1. Проведено незалежні спостереження над випадковою величиною [

16

та сформовано випадкову вибірку обсягом n 16 із результатів спостережень. Для цієї вибірки середнє x 0,5.

Перевірити гіпотезу про те, що середнє значення a випадкової величини [ дорівнює 0, якщо рівень значущості D 0,01. Розглянути окремо ви-

падки: а) H1 : a z0 ; б) H1 : a !0.
< • ^ i :hа)\z• ^ v2 ; z		2,58; гіпотеза H	0	приймається;
спост.	кр.
б) zспост.	2 ; zкр.	2,33; гіпотеза H0		приймається.

4.3.Із документів фінансової звітності за місяць одного із пунктів обміну валюти в місті можна визначити, що середня сума грошей, які обмінюються на іншу валюту одним клієнтом (вважати, що випадкова величина розподілена нормально), становить 200 дол., а середньоквадратичне відхилення кожного місяця незмінне і дорівнює 65 дол. Вважатимемо роботу працівників пункту обміну валюти ефективною, якщо наступного місяця обіг конвертованої валюти з розрахунку на одну особу зросте в порівнянні з попереднім, і неефективною – у протилежному випадку. Щоб вияснити, чи є робота працівників ефективною, наступного місяця відібрали випадковим чином 100 клієнтів. Виявилося, що для них обіг конвертованої валюти з розрахунку на одну особу дорівнює 210 дол.

Для рівня значущості 0,05 сформулювати односторонню гіпотезу для перевірки того, чи робота працівників пункту обміну валюти наступного місяця є ефективною, та перевірити її.

< • ^ i :hz\ • ^|1,54v ; z		1,65 ; гіпотеза H	0	приймається, а отже,
спост.	кр.

робота працівників була неефективною.

4.4.За даними преси середня ціна певного товару на ринках України становить в середньому 25 грн. за кг. Щоб перевірити це твердження, було випадково відібрано 20 ринків і встановлено, що для них вибіркове середнє справді дорівнює 26 грн. за кг. Виходячи з даних статистичних спостережень за попередні місяці, можна зробити висновок, що середньоквадратичне відхилення ціни цього товару за 1 кг кожного місяця залишається незмінним і дорівнює 3 грн.

Сформулювати односторонню гіпотезу та перевірити її для рівня значущості D 0,05 , якщо відомо, що ціна 1 кг товару – нормально розподіле-

на випадкова величина. Чи є підстави не довіряти матеріалам преси?

< • ^ i :hz\ • ^|1,49v ; z		1,65 ; гіпотеза H	0	приймається
спост.	кр.

(немає підстав не довіряти пресі).

4.5.Згідно зі стандартами маса однієї піци, що продається в деякій торговій точці, повинна становити 800 г, а середньоквадратичне відхилення не по-

17

винно перевищувати 20 г. Якщо попит на піцу в цій торговій точці невисокий, то товар з часом злегка усушується. Щоб перевірити це, випадковим чином відібрано 40 одиниць товару та встановлено, що середня їх маса дорівнює 780 г.

Чи можна довіряти продавцям, які стверджують, що весь товар продається свіжим (сформулювати односторонню гіпотезу та перевірити її для рівня значущості 0,05)?

Як зміниться відповідь на запитання в задачі, якщо рівень значущості

D 0,01?

< • ^ i :hz\ • ^| 6,32v ;	z	1,65 при D 0,05 ;
спост.	спост.
zспост. 2,33 при D 0,01; гіпотеза H0		відхиляється, а отже,

вданому випадку висловлюванням продавців довіряти не можна.

4.6.Із нормально розподіленої генеральної сукупності випадковим чином відібрано вибірку; результати спостережень записано у вигляді дискретного статистичного ряду

	xi		1		2		3				4		5	.
	ni		3		6		8				5		3
а) Перевірити для			рівня		значущості							D 0,05 гіпотезу H0 : a 2,5
(критична область одностороння);
б) як зміниться відповідь на попереднє питання, якщо H0 : a 2,8 при
конкуруючій гіпотезі H1 : a !2,8?
< • ^ i :hа)\t • ^ |1,91v								; t		кр.	1,71; гіпотеза H				0	відхиляється;
				спост.
			б) tспост. |0,66 ; tкр. 1,71; гіпотеза H0													приймається.

4.7.Із результатів незалежних спостережень над нормально розподіленою випадковою величиною [ навмання відібрано вибірку 0,4; 0,5; 0,8; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,6; 1,9; 2,0.

Для рівня значущості D 0,05 перевірити гіпотезу H0 про те, що середнє значення a випадкової величини [ дорівнює 1,4, якщо протилежна гіпотеза H1 : a z1,4 .

< • ^ i :ht \ • |^1,71v ; t	кр.	2,26; гіпотеза H	0	приймається.
спост.

4.8.За матеріалами одного із провідних у деякому місті журналів у сфері банківської діяльності середня процентна ставка за депозитами у гривнях для фізичних осіб у червні a0 15 %. Щоб перевірити це твердження, відібрали випадковим чином 15 банків та зафіксували таку процентну ставку для них:

12,1; 12,7; 13,0; 13,3; 13,6; 14,0; 14,4; 14,7;

18

14,9; 15,1; 15,5; 15,6; 15,8; 16,6; 16,7.

а) Чи узгоджуються дані вибіркових спостережень із висловлюваннями в журналі, якщо рівень значущості D 0,05 ?

б) Як змінилась би відповідь на запитання попереднього пункту, якщо a0 14 %?

< • ^ i h \ • ^ v: а) t | 1,29	;	t	спост.	2,14 або t	спост.	! 1,76	; гіпотеза H	0
спост.

приймається (дані узгоджуються); б)

19