- •1. Введение в анализ временных рядов
- •1.1. Временные ряды и требования, предъявляемые к ним
- •1.2. Основные показатели динамики экономических явлений
- •1.3. Компонентный состав временного ряда
- •1.4. Некоторые элементы теории случайных процессов
- •2. Определение общей тенденции временного ряда
- •2.1. Виды тенденций и проверка гипотезы о существовании тенденции
- •Расчет вспомогательных характеристик
- •2.2. Методы выделения общей тенденции временного ряда
- •2.2.1. Механическое сглаживание
- •2.2.2. Аналитическое выравнивание временных рядов
- •2.2.3. Гармонический анализ
- •3.1. Проверка гипотезы о правильности выбора вида тренда
- •3.2. Проверка гипотезы о независимости случайного компонента
- •3.3. Проверка гипотезы о нормальности случайного компонента
- •4. Описание стационарных временных рядов с помощью авторегрессионной модели
- •4.1. Оценка параметров авторегрессионной модели
- •4.2. Определение порядка авторегрессии
- •5. Прогнозирование экономических показателей
- •5.1. Простейшие приемы экстраполяции
- •5.2. Прогнозирование экономических показателей с помощью кривых роста
- •5.3. Прогнозирование экономических показателей с помощью авторегрессионных моделей
- •6. Статистический анализ сезонной компоненты
- •6.1. Методы выявления периодической компоненты
- •6.3. Прогнозирование явлений с помощью индексов сезонности
- •8. Корреляция и регрессия рядов динамики
- •8.1.Простая корреляция и регрессия рядов динамики
- •8.2. Множественная корреляция и регрессия рядов динамики
- •Тест для самопроверки
6. Статистический анализ сезонной компоненты
6.1. Методы выявления периодической компоненты
Для выявления периодической компоненты во временном ряду можно воспользоваться несколькими способами:
1) при применении метода Фостера — Стюарта на наличие периодичности рассчитывается показатель ts: если ts > tα, то это говорит о том, что в ряду отклонений от тренда существуют колебания;
2) для определения периодичности можно использовать автокорреляционную функцию (1.9) (наличие временного лага τ показывает, что ряд содержит периодическую составляющую с периодом τ);
3) для длинных временных рядов можно применить критерий „пиков" и „ям", в основе которого лежит подсчет числа экстремальных точек pt изучаемого ряда. Этот расчет осуществляется следующим образом:
1) выявляется последовательность
1, если yt+1 < yt > yt-1 или yt-1 > yt < yt+1,
0 в противном случае для всех t = 2, 3, …, n-1;
2) определяется , гдеn— число наблюдений;
3) проверяется гипотеза об отсутствии периодической компоненты путем сравнения расчетного значения р со значением
рассчитанным для случайного ряда. Если эти значения близки, то можно отказаться от дальнейшей проверки и признать временной ряд случайным;
4) еслиизначительно отличаются друг от друга, то производится дальнейшая проверка гипотезы, основанная на подсчете фаз различной длины. Фазой называется интервал между двумя соседними индексами уровней, для которых (например, если для у5 и , то фаза имеет длину; если для и, то фаза имеет длину ). Подсчитывается число фаз , ,длин,,. Теоретическое значениечисла фаз различной длины для случайного ряда равно:
5) рассчитывается значение . В случае трех групп это значение определяется по формуле
Если , то колебания исходного ряда можно считать случайными, если , то ряд содержит периодическую компоненту [20].
Пример 6.1. Используя данные табл. 6.1, проверим по значениям автокорреляционной функции, имеются ли в этом временном ряду периодические колебания.
Таблица 6.1
Динамика продажи молочной продукции в регионе за 1996 – 1999 гг.
Год |
Квартал | |||
I |
II |
III |
IV | |
1996 |
54,6 |
80,6 |
78,8 |
53,5 |
1997 |
53,2 |
97,5 |
98,7 |
60,5 |
1998 |
56,4 |
112,1 |
114,5 |
74,6 |
1999 |
66,6 |
126,6 |
132,8 |
76,7 |
Для исследуемого ряда были рассчитаны значения автокорреляционной функции по формуле (1.9). Результаты приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Значения автокорреляционной функции
Сдвиги |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Значения автокорреля- ционной функции |
0,208 |
-0,464 |
0,115 |
0,611 |
0,030 |
95% граница |
0,490 |
0,511 |
0,603 |
0,609 |
0,742 |
Из таблицы видно, что наибольшее значение автокорреляционная функция принимает на 4-м сдвиге. Это подтверждает наличие сезонности, период которой равен IV кварталам, и превышение значения автокорреляционной функции уровня, определенного для 95% границы.
6.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЕЗОННОСТИ
Одна из основных задач анализа временного ряда состоит в выделении сезонной компоненты (или сезонности). К сезонным относят такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности, регулярно повторяющиеся из месяца в месяц, или из квартала в квартал каждый год. Эти колебания являются результатом природных, общественных и социально-экономических факторов. Сезонные колебания проявляются с неодинаковой интенсивностью в различных сферах жизни общества: неодинаковое потребление электроэнергии в течение года; ярко выраженный сезонный характер сельского хозяйства, вызывающий неравномерность работы перерабатывающих предприятий, что в свою очередь обусловливает сезонные колебания в торговле. Сезонность также возникает из-за сезонного спроса на товары народного потребления (обувь, одежда) и т. д. Но как бы ни проявлялась сезонность, она всегда наносит ущерб деятельности фирм, который проявляется в неравномерном использовании оборудования и рабочей силы, неравномерной поставке сырья, загрузке транспорта и т. д. Поэтому изучение сезонных колебаний необходимо для того, чтобы обеспечить стабильный ритм работы предприятий.
Сезонные колебания характеризуются специальным показателем — индексом сезонности . Совокупность этих показателей,вычисленных по месячным или по квартальным данным за несколько лет (не менее 3), отражает сезонную волну. В общем виде эти показатели определяются как процентное отношение фактического уровня ряда к некоторому теоретическому уровню, принятому за базу.
Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без предварительного выравнивания (способ постоянной средней). Для каждого месяца (квартала) рассчитывается средняя величина уровня затем вычисляется среднийуровень для всего ряда и определяется процентноесоотношение средних уровней для каждого месяца к общему среднему уровню ряда, т. е.
(6.1)
где =1, 2, ..., 12, если данные помесячные, или= 1, 2, 3, 4, если данные поквартальные.
Если ряд содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить индекс сезонности, по фактическим уровням выявляется общая тенденция ряда, которая может быть выражена с помощью аналитического выравнивания в виде математической функции.
При использовании аналитического выравнивания ход вычислений индекса сезонности следующий:
находится подходящая функция выравнивания (п. 2.2.2);
для каждого месяца (или квартала) вычисляются теоретические уровни , рассчитанные по уравнению тренда;
3) определяются показатели сезонности как процентное отношение фактического месячного (квартального) уровня , к соответствующему расчетному уровню:
находится среднее арифметическое из показателей сезонности по\ одноименным периодам (либо месяцам, либо кварталам):
,
где N — число одноименных периодов;
5) расчет индексов заканчивается проверкой, заключающейся в определении среднего индекса сезонности который должен быть равен 100 %. Но так как не всегда удается выделить влияние несезонных факторов (т. е.100 %), то следует произвести выравнивание индексов, которое заключается в умножении индексов сезонности на величину, обратную среднему индексу сезонности;
6) после определения выравненных индексов сезонности можно найти уровни временного ряда, в которых элиминировано влияние сезонности. Для этого нужно фактические уровни поделить на соответствующие выравненные индексы (в коэффициентах). Показателем колеблемости временного ряда за счет сезонности служит среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле
,
где т = 12 (если данные помесячные) либо т = 4 (если данные поквартальные).
Чем меньше значение , тем меньше влияние сезонного фактора на исследуемый показатель.
Для повышения устойчивости индексов сезонности можно рассчитать средний индекс сезонности по расположению. Для этого в ранжированном ряду показателей сезонности отбрасываются самые высокие и низкие значения и определяется средняя арифметическая из центральных значений индексов сезонности. Если число показателей четное, то в расчет берется 4 или 6 центральных точек, если нечетное, то 3 или 5.