2. Определение общей тенденции временного ряда

2.1. Виды тенденций и проверка гипотезы о существовании тенденции

Во временных рядах, описывающих социально-экономические процессы, могут наблюдаться тенденции трех видов: тенденция среднего уровня, тенденция дисперсии, тенденция автокорреляции.

В статистической литературе под тенденцией среднего уровня понимают некоторое общее направление развития. Обычно ее можно представить графически более или менее гладкой траекторией. Предполагается, что такая траектория, которую можно описать в виде некоторой математической функции времени F_t, характеризует основную закономерность движения во времени и в некоторой мере становится свободной от случайных воздействий [22 ] (в дальнейшем функцию F_t будем обозначать через и называть трендом).

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между фактическими и расчетными уровнями, найденными по математической формуле тренда. Этот вид тенденции также легко представить графически.

Тенденцией автокорреляции является тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда.

Во временных рядах с незначительной тенденцией развития во времени и существенной колеблемостью уровней не всегда удается (даже при использовании современных программных средств) определить, присутствует ли тренд в данном ряду или нет. Поэтому прежде чем переходить к выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда [1, 21, 23]. Для этого чаще всего используют метод Фостера — Стюарта, критерий „восходящих" и „нисходящих" серий и критерий серий, основанный на медиане выборки.

Метод Фостера — Стюарта позволяет обнаружить как тенденцию среднего уровня, так и тенденцию дисперсии, что очень важно для практического анализа. Этот метод можно реализовать в виде определенной последовательности шагов.

1. Каждый уровень ряда, начиная со второго, сравнивается со всеми предыдущими, при этом определяются значения вспомогательных характеристики u_t и m_t:

т.е. u_t = 1, если у_t больше всех предшествующих уровней, а m_t = 1, если у_t меньше всех предшествующих уровней.

2. Вычисляются значения s_t = u_t + m_t и d_t = u_t- m_t для t = 2, 3, …, n.

3. Находятся характеристики

Показатель S применяется для обнаружения тенденции дисперсии, а показатель D — для обнаружения тенденции среднего уровня.

4. После того как для исследуемого ряда найдены фактические значения S и D с помощью критерия Стьюдента, проверяется гипотеза о том, что величины S — µ и D — 0 — случайны. Для этого определяются расчетные значения критериев t_S и t_D:

где µ — математическое ожидание величины S, определяемое для случайного распределения уровней во времени;

σ_S — среднеквадратическая ошибка величины S;

σ_D — среднеквадратическая ошибка величины D (значения µ, σ_S,σ_D занесены в табл. 2.1).

Если в таблице нет искомых значений для n (например, n = 12), то необходимые µ, σ_S,σ_D, приближенно находятся с помощью интерполирования, используя табличные данные для ближайших n (n = 10 и n = 15).

Т а б л и ц а 2.1

Значения средней µ и стандартных ошибок σ_S и σ_D для n от 10 до 50

п	µ
10	3,858	1,288	1,964
15	4,636	1,521	1,964
20	5,195	1,677	2,279
25	5,632	1,791	2,373
30	5,990	1,882 .	2,447
35	6,294	1,956	2,509
40	6,557	2,019	2,561
45	6,790	2,072	2,606
50	6,998	2,121	2,645

5. Расчетные значения t_D и t_S сравниваются с критическим , взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для конкретного уровня значимости . Если расчетное значениеt_D больше критического , тогда гипотеза об отсутствии тенденции среднего уровня отвергается (аналогично проверяется гипотеза об отсутствии тенденции дисперсии). Если расчетные значения меньше критического , тогда гипотеза подтверждается.

Критерий „восходящих” и „нисходящих” серий реализуется в виде. определенной; последовательности шагов.

1. Для временного ряда определяется последовательность γ_t из плюсов и минусов следующим образом:

Если последующее наблюдение оказалось равным предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.

2. В совокупности плюсов и минусов подсчитывается количество серий ν (n), где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или минус тоже считается серией.

3. Определяется протяженность самой длинной серии k_max(n).

4. Для того чтобы гипотеза об отсутствии тренда не была отвергнута, должны выполняться следующие неравенства (при 5% уровне значимости):

(2.1)

Квадратные скобки в неравенстве означают целую часть числа. Величина k₀(n) зависит от длины исходного ряда и определяется по табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.2

Длина ряда	п ≤ 26	26 < п ≤ 153	153 < п ≤ 170
Значение k0	5	6	7

Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается [1].

Рассмотрим теперь критерий серий, основанный на медиане выборки.

1. Исходный ряд Y_t преобразуется в ранжированный где — наименьшее значение ряда Y_t.

2. Определяется медиана ранжированного ряда Ме. Для нечетного значения n (n = 2m + 1)

для четного n ( n = 2m)

3. Образуется последовательность из плюсов и минусов последующему правилу

Если значение у_t равно медиане, то оно опускается.

4. Подсчитываются общее число серий ν(n) и протяженность самой длинной серии k_max(n) аналогично тому, как это делалось в критерии „восходящих” и „нисходящих” серий.

5. Для того чтобы гипотеза об отсутствии тренда (гипотеза о случайности) не была отвергнута, необходимо выполнение следующих неравенств (для 5% уровня значимости):

(2.2)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается [1 ].

П р и м е р 2.1. По данным об изменении урожайности зерновых культур, которые представлены в табл. 2.3, проверим с помощью метода Фостера — Стюарта наличие тенденций в исследуемом ряду.

Таблица 2.3