Итоговые упражнения.

1. Уберите строку состояния.

2. Снабдите любое выражение (на Ваш выбор) аннотацией.

3. Измените цвет, тип и размер шрифта во всех математических выражениях данного документа.

4. Измените цвет фона и цвет, которым окрашивается выделенное выражение.

5. Исключите отдельное выражение из рассмотрения.

6. Перейдите в ручной режим вычислений.

Глава 3. Особенности организации вычислительного процесса в Mathcad.

1. Точность вычислений.

В Mathcad вычисления могут быть выполнены двумя принципиально разными блоками программ, которые условимся называть численный процессор и символьный процессор. Символьный процессор, наряду с вычислениями и численными решениями различных задач, способен осуществлять аналитические преобразования, более того, именно аналитические преобразования и являются, в соответствии с его названием, основной задачей, для решения которой и создавался символьный процессор. В этом параграфе, однако, мы ограничимся только вопросами, связанными с использованием символьного процессора для вычислений.

После ввода формулы в Mathcad пользователь должен сообщить, какому именно процессору (численному или символьному) он хочет поручить вычисления. Для этой цели используются операторы обращения к процессору (иначе - операторы вывода). Оператором обращения к численному процессору служит обычный знак равенства, т.е. “=”, а для обращения к символьному процессору служит оператор “→” (его можно вызвать из палитры Symbolic или ввести с клавиатуры, нажав [Ctrl]+[.]). При этом, прежде чем написать оператор обращения к численному или символьному процессору следует выделить формулу (при работе с символьным процессором). После того, как оператор обращения написан, щелкните мышью вне формулы.

Замечание 1. В языке общения Mathcad используются два знака равенства – обычный и написанный жирным шрифтом (из палитры Boolean), которые имеют разное значение и их нельзя путать.

Замечание 2. Фирма MathSoft в руководстве пользователя достаточно подробно описывает работу численного процессора, но о символьном процессоре информация минимальна.

1.1. Вычисления посредством численного процессора.

Численный процессор работает с 64-битными числами с плавающей точкой.

Запись чисел в формате 64-битного слова обычно называют двойной точностью, а использование 32-битного слова - одинарной точностью.

Использование жестко фиксированной 64-битной длины слова определяет основные проблемы, связанные с точностью вычислений численного процессора. Отметим, что 64-битная длина связана с возможностью непосредственно использовать аппаратно реализованные арифметические возможности ПК. Более сложный путь, когда длина слова для записи числа переменна и ограничена сверху некоторым большим числом, использован в символьном процессоре.

Числа в компьютере всегда записываются в форме “мантисса - показатель степени” (иначе – в экспоненциальной форме):

где γ и β – ячейки в 1 бит, содержащие знаки чисел ±;

m – целое число, называемое мантиссой;

k – целое число, называемое показателем степени.

Mathcad для записи мантиссы использует 52 бита, а для записи показателя степени - 10 бит. Точнее, так делалось до 12-той версии Mathcad, где, по-видимому, (производитель не сообщает эту информацию пользователю) программными средствами может быть увеличено число бит для записи мантиссы. Это делается посредством уменьшения числа бит для записи показателя степени. Общая длина остается неизменной – 64 бит.

Хотя компьютер работает с двоичными числами, при рассмотрении процесса вычислений наглядней использовать привычную нам десятичную запись чисел. Поэтому можно сказать, что Mathcad в версиях до 12-той использовал 15-тиразрядную мантиссу. Если для записи некоторого числа требовалось более чем 15 разрядов мантиссы, то оно округлялось. в 12-той версии Mathcad декларируется точность в 17 разрядов мантиссы. Фактически она может быть реализована в подавляющем большинстве случаев, но не всегда. Исключение – очень большие и очень малые числа. Следует подчеркнуть очень важное обстоятельство. При вычислениях компьютера, если числа записываются в форме машинного слова фиксированной длины, то именно число разрядов мантиссы определяет предельную точность вычислений. Дело в том, что в научно-технических расчетах традиционно точность определяется числом верных знаков после запятой. Но для оценки математических программ это совершенно неприемлемо! Точность определяется длиной мантиссы, а формат вывода чисел позволяет записывать результаты с заданным числом знаков после запятой.

Из условия, что число бит для записи показателя степени фиксировано следует, что для очень больших и очень малых чисел мы столкнемся с проблемой: показатель степени «не влезает» в отведенное число бит. Таким образом возникают понятия «машинный нуль» и «машинная бесконечность». Если в процессе вычислений численный процессор получает число, меньшее машинного нуля, оно округляется до нуля. Если возникает число, большее, чем машинная бесконечность, численный процессор сообщает об ошибке: «число, большее чем 10³⁰⁷» (машинная бесконечность для Mathcad).

Отметим, что определить, чему равна машинная бесконечность для численного процессора можно следующим образом. Введем символ бесконечности ([Ctrl]+[Shift]+Z) и напишем знак равенства. Получим на экране:

если выбран формат записи чиселGeneral или Scientific (см. далее).

Подведем итог. Численный процессор Mathcad работает с числами, имеющими мантиссу 15 (до версии 12) или 17 десятичных разрядов. Количество разрядов мантиссы определяет точность вычислений. Число знаков после запятой не является показателем точности, так как в сумме число разрядов целой и дробной частей числа не может превысить 15 (или 17).