6. Вычисление корней и значений степенной функции.

Пусть n и m – целые положительные числа, а w – комплексное число, причем w0. В частности, число w может быть действительным и находиться на действительной оси комплексной плоскости. В случае, когда w – действительное число:

arg(w) = 0 , если w > 0

arg(w) =  , если w < 0

Уравнение:

zⁿ + w = 0

имеет n корней z₁ , z₂ ,… , z_n . Далее будут указаны способы вычисления в Mathcad всех n корней. Сначала мы остановимся на вопросе, что вычисляют в Mathcad выражения:

и

Пусть w – действительное положительное число. В этом случае оба выражения вычисляют действительный положительный корень:

, где

Если w – отрицательное действительное число и n нечётно, то:

, , где,

где s – отрицательное действительное число и q s. Иными словами, q и s являются различными числами из множества n корней. Например,

Уравнение z³ + 1 = 0 имеет корни:

Подчеркнем исключительно важное обстоятельство. Численный процессор Mathcad полагает, что

для действительных отрицательных значений w и только для них. Для всех остальных значений w оба выражения равны. Поэтому графики функций

и (n нечётно)

будут совпадать только для положительных значений х.

Для отрицательных значений х график h(x) не существует, так как функция h(x) принимает комплексные значения.

По-видимому, разработчики численного процессора отступили от общепринятого в математике равенства двух выражений для корня n-ной степени для того, чтобы дать возможность пользователю строить графики знакомых со школьных лет функций. Заметим, что символьный процессор не делает указанного различия и трактует обе формы записи одинаково для всех значений w:

В общем случае численный и символьный процессоры принимают значение равным тому изn корней уравнения zⁿ + w = 0 , который имеет наименьшее по модулю значение аргумента. Если наименьшее значение модуля аргумента имеют два различных корня, то выбирается тот корень, у которого аргумент положителен.

В рассмотренном примере:

поэтому Mathcad выбирает корень .

Рассмотрим, как вычислить все n значений корня.

Если записать комплексное число w в тригонометрической форме:

то все значения корней вычисляются по соотношениям:

где ,k=0, 1, … , n-1,

которые следуют из формулы Муавра возведения комплексного числа в степень n (n – целое положительное число):

Для того, чтобы вычислить в Mathcad корни по приведённому соотношению, надо использовать ранговую переменную. Пусть дано комплексное число z и величина n.

Другой способ вычисления всех значений корней – использование встроенной функции polyroots, которая вычисляет все n корней многочлена n-ной степени с комплексными коэффициентами. Подробно работа с функцией polyroots описана в главе 5. Отметим, что разработчики Mathcad в руководстве пользователя и в справочной системе программы используют своеобразную терминологию. Термин “оператор” явно не соответствует математическому термину “оператор”, а процедуры, например процедуру вычисления корней полинома они называют функциями. Поэтому команда, организующая процесс вычисления корней многочлена численным методом называется в Mathcad функцией (так же, как sin или cos).

В заключение рассмотрим вопрос вычисления значений произвольной степенной функции

где z и w – комплексные числа. Mathcad вычисляет число v следующим образом. Число z преобразуется в показательную форму, а число w - в алгебраическую:

w = a + ib

(действительное число)

(по формуле Эйлера)

Ответ:

, где ;