4. Вычисление доверительного интервала для вероятности наступления событияс помощью таблиц нормального распределения.

Умения

Алгоритм действий

Вычисление доверительного интервала для вероятности наступления событияс помощью таблиц нормального распределения

1. Вычислить оценку для. 2.Найти доверительный интервал для . Указание к шагу: Основная формула – следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа, из которой выводятся любые соотношения между эмпирической частотой, генеральной частотой, и вероятностью: Доверительный интервал для ищется по формуле: - выборка с повтором, - выборка без повтора, где =1,96 для уровня доверия 95% и=3 для уровня доверия 99,7% (табл. 5). 3. В случае, когда требуется, проверить гипотезу, сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом и т.д.

Задание 4.1. Выборочная проверка показала, что из 100 изделий 87 удовлетворяют стандарту. Мы хотим быть уверены на 95 %, что не ошибаемся в оценке процента нестандартных изделий. В каких пределах он находится? Каков должен быть объем выборки, чтобы оценить процент брака с точностью до 0,01?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить оценку для.
2	Найти доверительный интервал для	(применили формулу для повторной выборки с возвратом). Подставив и, получаем 0,06<<0,2.
3	В случае, когда требуется, проверить гипотезу; сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом.	с вероятностью 0,95 выполняется: . Требуемая точность 0,01; следовательно,

Задание 4.2. Партия изделий считается годной к выпуску, если брак в ней не превышает 3 %. Из партии в 2000 изделий было отобрано и проверено 400. При этом бракованными оказались 6 изделий. Какова вероятность того, что вся партия удовлетворяет техническим условиям и может быть принята?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить оценку для
2	Найти доверительный интервал для	Применили формулу для бесповторной выборки (без возврата).
3	В случае, когда требуется, проверить гипотезу; сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом	Следовательно, должно выполняться: Подставляем наши данные: . Соответствующие такому значение вероятностинаходим в таблице 4 функции Лапласа Ф (х):=0,994. С вероятностью 0,994 выполняется: р<0,03

5. Проверка статистических гипотез

Умения

Алгоритм действий

Проверка статистических гипотез

1. Выписать из условия задачи данные о выборке. Сосчитать оценки для среднего и дисперсию. 2.Сформулировать проверяемую гипотезу в вероятностных терминах. Выписать формулу статистики, вычисляемой по выборке. Выписать число степеней свободы для распределения статистики. Подставить в формулу статистики данные выборки. Указание к шагу: Проверка гипотезы производится на заданном уровне значимости . Изучаются два варианта: 1)Выборка из одной совокупности, ее параметр (среднее) сравнивается с известным значением. То есть проверяется гипотеза . Альтернативными гипотезами могут быть: a);b);c) . По выборке вычисляется значение статистики: . Число степеней свободы , где– объем выборки. 2) Сравниваются параметры двух генеральных совокупностей. Из обеих делаются выборки, проверяется гипотеза . Альтернативными гипотезами могут быть: a);b);c) . По выборке вычисляется значение статистики: , где . Число степеней свободы , если– объем выборки из, а– объем выборки из. 3) Выписать критическую область и с помощью таблиц найти границы критической области для статистики, с помощью которой будет проверяться гипотеза. Указание к шагу: а) Гипотеза ,альтернативная. Критическая область для проверки гипотезы: (- отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,в верхней строке). Если вычисленное значение не попало внутрь интервала, то гипотезане проходит при уровне значимости. b) Гипотеза , альтернативная. Критическая область для проверки гипотезы: (- отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,в верхней строке). Если вычисленное значение не попало внутрь интервала , то гипотезане проходит при уровне значимости c) Гипотеза , альтернативная. Критическая область для проверки гипотезы: (- отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,в верхней строке). Если вычисленное значение не попало внутрь интервала , то гипотеза не проходит при уровне значимости. 4. Проверить, попало или нет в критическую область значение статистики. Сформулировать вывод, требуемый в задаче.

Задание 5. Провели обследование однотипных изделий, произведенных двумя заводами (по 40 изделий на каждом заводе). Оценки вычислялись в некоторых единицах, затем по ним для каждого завода были сосчитаны статистические показатели – среднее значение оценки и среднеквадратическое отклонение. Результаты приведены в таблице:

	Завод №1	Завод №2
Средний балл	71	76
Стандартное отклонение	5	6

Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что изделия завода №2 лучшего качества, чем изделия завода №1.