Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

экзамен вопросы

.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
84.72 Кб
Скачать

Понятие множества, элемент множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами.

Множества – совокупность группы объектов как единое целое, которые объединены общими свойствами. Примеры множеств: натуральные числа, геометрические фигуры и т.д.

Элементы множеств – это объекты из которых образованы множества. Обычно элементы множества принято обозначать латинскими строчными буквами. Множество которое не содержит ни одного элемента называются пустыми множеством.

Способы задания множества. Множество задано если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Однако если множество бесконечно то его элементы перечислить нельзя! В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежавший множеству, и не обладает не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Отношение между множествами. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множества является подмножеством самого себя. Множество А и В называется равными если А принадлежит В а В принадлежит А. отношение между множествами ярко показывают круги Эйлера.

  1. Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.

Операции над множествами. Пересечение множеств. Пересечение множеств А и В называется множество содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. (рис 7. Учебник).

Объединение множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Свойства пересечения и объединения множеств. Множества пересечения и объединения обладают переместительными и сочетательными свойствами.

Вычитание множеств. Разностью множеств А и В называется множество содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Дополнение множеств. Пусть В принадлежит А. Дополнением множеств В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Понятие разбиения множества на классы. Разбиение множества это когда целое множество разбивают на подмножества и делят на классы, которые обладают определёнными свойствами и характеристиками.

  1. Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар первая компонента которых принадлежит А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартовым произведением множеств А1 А2 А3 …. Аn, называется множество всех кортежей длиныn, первая компонента которых принадлежит множеству А1 вторая множеству А2…. Аnпринадлежит множеству Аn.

Способы задания множеств. Множества можно задать с помощью таблицы и координатной прямой.

Если декартово произведение содержит небольшое количество элементов то изобразить произведение можно в таблице или при помощи рисунка. Если два элемента то изображают на координатной прямой.

Свойства декартово произведения.

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

  1. Если A,B — конечные множества, тоA×B — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.

  2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A×B|=|A|⋅|B|.

  3. Anp≠(An)p — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров1×np, во втором же — как матрицу размеровn×p.

  4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×A.

  5. Ассоциативный закон не выполняется: (A×B)×C≠A×(B×C).

Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A∗B)×C=(A×C)∗(B×C),∗∈{∩,∪,∖.

  1. Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.

Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А= { x,y,z} ,aB={k,l,m,p}. Чтобы ответить на вопрос: Сколько элементов в полученном множестве? Достаточно их пересчитать.

А как определять число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В б элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а+б элементов т.е. n(Aпринадлежит В) =n(A) +n(B) =a+b.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств.

Чтобы ответить на вопрос: сколько элементов в полученном множестве? , достаточно пересчитать их . А как определить число элементов в декартовом произведении множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчёту элементов?

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов , а в множестве В – б элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится а*б элементов т.е. n(AxB) =n(A)xn(B) =axb.

  1. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания и наглядного изображения бинарных соединений. Свойства бинарных соединений.

Бинарное соединение - Пусть n — произвольное натуральное число. n-арным отношением на множестве S называется произвольное подмножество множества S n. При n = 2, 3 n-арные отношения имеют специальные названия: 2-арные отношения называются бинарными, а 3-арные — тернарными.

  1. Типы бинарных соединений. Связь с разнообразием множества на классы.

  2. Отображение и их виды. Взаимо-однозначное отображение. Равномощные множества.

  3. Теоретико-множественный смысл натурального числа , нуля, отношения меньше.

Натуральное число – это общее свойства класса конечных равномощных множеств. Теорема. Любое непустое подмножество конечного множества конечно. Доказательство. В связи с тем, что при определи числа, соответствующему множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается , как правило, с усвоения чисел первого десятка . параллельно раскрывается смысл каждого из этих чисел, причем количественное натуральное число часто рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например, когда учащиеся изучают число 3 они рассматривают элементы которые содержат число три три кубика три кружочка и т.д.

Число ноль с теоретико-множественного смысла рассматривается как характеристика пустого множества.

Отношение меньше. Смысл заключается в том что отношение меньше это разница между числами. Отношение меньше одно из первых закономерностей чисел.

  1. Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.

Сумма натуральных чисел а и bпредставляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а=n(A) +n(B).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так коммунитативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А принадлежит В = В принадлежит А.

Теоретико-множественный смысл разности. Разность натуральных чисел aиbпредставляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а=n(A),b=n(B) и В принадлежит А:a–b=n(A) –n(B) =n(A\B), если В принадлежит А. Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большого числа вычесть меньшее.

Теорема пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство n(A\B) =n(A) –n(B). Доказательство: так как по условию В – собственное подмножество множество А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке 112. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Потому число элементов в множестве А можно найти по формулеn(A\B) =n(A) –n(B). (Рисунок из учебника 112).

  1. Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.

Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением ab называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)    ab = а + а + а + …+ а, если b > 1   b слагаемых

2)  ab = а, если b = 1;

3)  ab = 0, если b = 0.

Рассмотрим коммутативность с точки зрения теоретико-множественного подхода, т.е. ab =ba.

Пусть  n(A )= a, n(B) = b. Тогда по определению произведения ab = n() . Но множества  =  равномощны: каждой паре (а;b) из множества   можно поставить в соответствие единственную пару (b;a) из множества , и наоборот.Следовательно, n() = n(). Значит ab = ba.

Ассоциативность (ab)c = a(bc) вытекает из того, что множества ()) равномощны, а значит n(()) = n()).

Дистрибутивность рассматривают относительно сложения и вычитания. Рассмотрим относительно сложения: (a + b)c = ac + bc.

По определению произведения имеем (a + b)c = n((). Но , поэтому  n(() = n(, а значит и (a + b)c = ac + bc.

Объясним, почему 32 = 6?Решение. Используя первое определение, произведение 32 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КС. Т.к. КС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КС) = 6. Значит 32 = 6.

Теоретико-множественный смысл частного.

  1. Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве Z свойств.

  1. Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.

  2. Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множествеNсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из Nсуществует единственный элемент а*, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из Nсуществует не более одного элемента , за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества NсовпадаетN, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М. 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а* содержится М. сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числа.

Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим ( или предшествующим) числуb. Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, чтоb*=a.

  1. Сложение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы сложения.

Сложение Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения (1) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи.

Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = 3,

f(n') = f (n)'.

Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = m,

f(n') = f(n)'.

Существует функция g из w ґ w в w такая, что

g(m, 0) = m,

g(m, n') = g(m, n).

Такая функция g единственна.

Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .

Так, для любых натуральных чисел m и n:

m + 0 = m,

m + n'= (m + n)'.

(1)

Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.

1.9 2 + 2 = 4.

1.10 n'= n + 1. 

1.11 (k + m) + n = k + (m + n). * 

1.12 0 + n = n. 

1.13 m'+ n = m + n'. 

1.14 m + n = n + m. * 

1.15 Если k + m = k + n, то m = n. *

Наименьший элемент

Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n Ј m.

Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента. Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A. Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.  Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.

  1. Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.

  1. Свойства множества натуральных чисел.

1. Беспредельность.  Обеспечивается. Мощностью множества.  2. Непрерывность.  Обеспечивается. 1. Построением множества. 2. Начертаниями чисел.  Построение множества.  Множество строится на основе двух характеристик натуральных чисел:  - числами мы обозначаем количество  - числами мы обозначаем порядок расположения в ряд.  1 – количеством. 1 – на первом месте.  1 + 1 = 2 количеством. 2 – на втором месте.  2 +1 = 3 – количеством 3 – на третьем месте и т. д.  3. Структурность.  Обеспечивается. Решением континуума проблемы (гипотезы)  Следствием решения континуума проблемы (гипотезы) натуральный ряд чисел разделился на дискретные множества различной плотности множеств. Но все дискретные множества равномощны мощности первого множества.  4. Сходимость.  Обеспечивается. Методологией анализа беспредельных и неопределенных множеств с определением вероятности равной единице.  Методологией предусматривается: 1. Решение континуума проблемы (гипотезы).  2. Определение вероятности равной единице из соотношения множеств.  5. Функциональность.  Обеспечивается. Начертаниями чисел. Программами информационного поля.  Начертания чисел показывают процессы развития на начальных стадиях космогонии. Программы информационного поля показывают процессы развития от начальной точки до любых беспредельных размерностей Вселенной как непрерывная связь разума и материи.  - (1 – 9) – служебная программа информационного поля.  - (10 – 98) – программа формообразования материальных тел.  - (99 – 64 девятки) – структуры информационного поля.  - (64 девятки – до бесконечности) – структуры гармонии.  6. Информативность.  Обеспечивается. Построением множества натурального ряда чисел.  Натуральный ряд чисел строится с учетом двух характеристик чисел:  - Числами обозначаем количество.  - Числами обозначаем порядок расположения в ряд.  Множество натурального ряда чисел содержит информацию о количестве элементов множества и их упорядоченного расположения во множестве. Вследствие чего, - количество информации есть количество элементов множества.

  1. Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.

Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а-b=с тогда и только тогда, когдаb+c=a.

Число а-bназывается разностью чисел а иb, число а – уменьшаемое, а числоb– вычитаемым.

Теорема. Разность натуральных чисел а-bсуществует тогда и только тогда когдаbменьше а. Доказательство. Пусть разность а-bсуществует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, чтоb+c=а, а это значит, чтоbменьше а. если жеbменьше а, то, по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, чтоb+c=а. тогда по определению разности, с = а-b, т.е. разность а-bсуществует.

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Делением натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию:a:b=cтогда и только тогда, когдаb*c=a.

Теорема. Если а и bделятся на число с, то существует такое натуральное число х= а:с, что а=сх. Аналогично существует такое натуральное число у=b:с, чтоb=су. Но тогда а +b= сх +су х с ( х+у). это значит, что а+bделится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+bна число с, равно х+у, т.е. а:с+b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила: Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученное результаты сложить.

Теорема если натуральные числа а и bделятся на число с и а большеb, то разность а –bделится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с иbна с, т.е. (а-b) : с = а:с –b:с. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Эту теоремы можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

  1. Множество целых неотрицательных чисел.

Присоединим к множеству Nнатуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначаетсяZ0. Таким образом,Z0 =Nприсоединяется (0).

Пусть а – целое неотрицательное число, а b– число натуральное. Разделить а наbс остатком значит найти такие целые неотрицательные числаgиr, чтоa=bg+r, причем 0 меньше или равноrменьшеb.

  1. Деление с остатком.

Деление c остатком (деление по модулю) — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел и алгебре. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть и — целые числа, причём Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел и , что выполняется равенство:

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на 

Примеры.

  • При делении с остатком положительного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка: 

  • При делении с остатком отрицательного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка: 

  • При делении с остатком числа на получаем неполное частное и остаток , то есть деление выполняется нацело.

  1. Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.

Логика – наука о законах и формах человеческого мышления, рассматриваемого как средство познания окружающей действительности.

Значение логики состоит в следующем:

1) логика выступает важнейшим средством формирования убеждений (прежде всего научных). Эти убеждения опираются на доказательные процедуры своего представления и обоснования. Именно в этом плане логика применялась даже средневековыми схоластами, пытавшимися придать христианскому вероучению рациональную форму, что послужило формальной предпосылкой возникновения действительной науки, отказавшейся от теологических подходов;

2) формальная логика применяется в науке и технике. При этом техническими приложениями формальной логики являются: исчисление высказываний и исчисление предикатов. Без исчисления предикатов не могли появиться искусственные информационные языки, основа современной компьютерной техники. Традиционная формальная логика остается важнейшим логическим инструментом построения доказательств, обоснований во всех науках;

3) традиционная формальная логика остается важнейшим средством в сфере всех видов образования. Она является основой организации всех видов знания для его подачи в процессе обучения;

4) логика является важнейшим и незаменимым инструментом развития культуры. Без логики не может обойтись никакая культурная деятельность вообще, поскольку в ней присутствуют и играют принципиальную роль рациональные элементы.

Поня́тие — отображённое в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений предметов или явлений;мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специфическим для них признакам.